Poznański Portal Matematyczny

Zadania z gwiazdką

Zadanie na 22.09.2017
Liczby naturalne \(a\), \(b\), \(c\) są nieparzyste. Niech \(d\) będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb \(a+b+c\) i \(a^2+b^2+c^2\). Dowieść, że liczby \(a^3\), \(b^3\), \(c^3\) dają taką samą resztę z dzielenia przez \(d\).

Zadanie na 8.09.2017
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\). Dowieść, że zbiór wszystkich punktów \(P\) spełniających równość
\[
|AP|^2+|BP|^2=|CP|^2
\]
jest okręgiem.

Rozwiązanie. Umieśćmy trójkąt \(ABC\) w układzie współrzędnych, w którym punktem \(O=(0,0)\) jest spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\), a oś \(OX\) pokrywa się z prostą \(AB\). Wówczas możemy zapisać \(A=(a,0)\), \(B=(b,0)\) i \(C=(0,c)\). Punkt \(P=(x,y)\) spełnia warunek
\[
(a-x)^2+(0-y)^2 + (b-x)^2+(0-y)^2 = (0-x)^2 + (c-y)^2,
\]
równoważnie \((x-a-b)^2 + (y+c)^2 = 2(c^2+ab)\). Jest to równanie okręgu o środku \((a+b,-c)\) i promieniu \(\sqrt{2(c^2+ab)}\) pod warunkiem, że \(c^2+ab>0\). Trzeba wykazać tę nierówność. W tym celu rozważmy taki punkt \(D\) na wysokości \(CO\), że kąt \(ADB\) jest prosty. Wówczas \(-ab=|a|\cdot|b|=|OD|^2 \lt c^2\), co kończy dowód.

Zadanie na 25.08.2017
Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), spełniających równanie
\[
40x^2+10y^2+1 = 12x+2y.
\]

Rozwiązanie. Zapiszmy dane równanie równoważnie:
\[36x^2+y^2+1-12x-2y+12xy + 4x^2-12xy+9y^2 = 0,\]
czyli po zwinięciu \((6x+y-1)^2+(2x-3y)^2=0\). Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nasze równanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą równości
\[6x+y=1, \qquad 2x-3y=0.\]
Teraz już bez trudu znajdujemy szukane wartości \(x=\frac{3}{20}\) i \(y=\frac{1}{10}\). Jest to jedyne rozwiązanie.

Do góry