Zadanie na 3.11.2017
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n≥3 o następującej własności: w przestrzeni trójwymiarowej można wskazać różne punkty A1,A2,…,An, dla których zachodzą warunki:
A1A2⊥A2A3,A2A3⊥A3A4,…,An−1An⊥AnA1,AnA1⊥A1A2.
Zadanie na 20.10.2017
Rozważmy wielomian P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d, w którym współczynniki a, b, c, d są liczbami wymiernymi. Wiadomo, że P(√2)=√2 oraz P(√3)=√3. Wyznaczyć współczynniki tego wielomianu.
Rozwiązanie. Z pierwszej równości otrzymujemy
√2=P(√2)=4+2a√2+2b+c√2+d=(4+2b+d)+(2a+c)√2.
Prowadzi to do równości (1−2a−c)√2=4+2b+d. Z niej wynika, że
1−2a−c=0i4+2b+d=0,
bowiem w przeciwnym razie √2=4+2b+d1−2a−c byłby liczbą wymierną, a tak nie jest. Rozumując podobnie dla argumantu √3, otrzymamy
1−3a−c=0i9+3b+d=0.
Zadanie sprowadza się więc do rozwiązania dwóch układów równań liniowych, każdy z dwiema niewiadomymi:
{2a+c=13a+c=1{2b+d=−43b+d=−9
Otrzymujemy z nich
a=0,b=−5,c=1,d=6.
Sprawdzamy, że faktycznie dla P(x)=x4−5x2+x+6 mamy P(√2)=√2 i P(√3)=√3.
Zadanie na 06.10.2017
Wyznaczyć liczbę różnych ustawień na szachownicy 8×8 dwóch identycznych skoczków w taki sposób, by się wzajemnie atakowały.
Rozwiązanie. Para atakujących się skoczków wyznacza w sposób jednoznaczny prostokąt o wymiarach 2×3, a każdy z takich prostokątów wyznacza dokładnie dwie pary atakujących się skoczków. Wobec tego szukana liczba par skoczków jest równa dwukrotności liczby prostokątów 2×3 położonych na szachownicy. Łatwo obliczyć, że jest 7⋅6=42 prostokątów zorientowanych poziomo i tyle samo pionowo. Zatem szukana liczba skoczków wynosi 168.
Zadanie na 22.09.2017
Liczby naturalne a, b, c są nieparzyste. Niech d będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb a+b+c i a2+b2+c2. Dowieść, że liczby a3, b3, c3 dają taką samą resztę z dzielenia przez d.
Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że d jest liczbą nieparzystą jako wspólny dzielnik liczb nieparzystych a+b+c i a2+b2+c2. Niech a+b+c=nd i a2+b2+c2=md. Wówczas
md=a2+b2+c2=a2+b2+(nd−a−b)2=2a2+2ab+2b2+d(n2d−2an−2bn),
z czego wnioskujemy, że d∣2(a2+ab+b2), czyli d∣a2+ab+b2, gdyż d jest nieparzysty. Zatem liczba a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) jest podzielna przez d, co jest równoważne stwierdzeniu, że liczby a3 i b3 dają taką samą resztę z dzielenia przez d. Analogicznie dowodzimy, że b3 i c3 dają taką samą resztę.
Zadanie na 8.09.2017
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Dowieść, że zbiór wszystkich punktów P spełniających równość
|AP|2+|BP|2=|CP|2
jest okręgiem.
Rozwiązanie. Umieśćmy trójkąt ABC w układzie współrzędnych, w którym punktem O=(0,0) jest spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka C, a oś OX pokrywa się z prostą AB. Wówczas możemy zapisać A=(a,0), B=(b,0) i C=(0,c). Punkt P=(x,y) spełnia warunek
(a−x)2+(0−y)2+(b−x)2+(0−y)2=(0−x)2+(c−y)2,
równoważnie (x−a−b)2+(y+c)2=2(c2+ab). Jest to równanie okręgu o środku (a+b,−c) i promieniu √2(c2+ab) pod warunkiem, że c2+ab>0. Trzeba wykazać tę nierówność. W tym celu rozważmy taki punkt D na wysokości CO, że kąt ADB jest prosty. Wówczas −ab=|a|⋅|b|=|OD|2<c2, co kończy dowód.
Zadanie na 25.08.2017
Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych x i y, spełniających równanie
40x2+10y2+1=12x+2y.
Rozwiązanie. Zapiszmy dane równanie równoważnie:
36x2+y2+1−12x−2y+12xy+4x2−12xy+9y2=0,
czyli po zwinięciu (6x+y−1)2+(2x−3y)2=0. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nasze równanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą równości
6x+y=1,2x−3y=0.
Teraz już bez trudu znajdujemy szukane wartości x=320 i y=110. Jest to jedyne rozwiązanie.