Zadanie na 3.11.2017
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(n\ge3\) o następującej własności: w przestrzeni trójwymiarowej można wskazać różne punkty \(A_1,A_2,\ldots,A_n\), dla których zachodzą warunki:
\[
A_1A_2 \bot A_2A_3, \quad A_2A_3 \bot A_3A_4, \quad \ldots, \quad A_{n-1}A_n \bot A_nA_1, \quad A_nA_1 \bot A_1A_2.
\]
Zadanie na 20.10.2017
Rozważmy wielomian \(P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\), w którym współczynniki \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) są liczbami wymiernymi. Wiadomo, że \(P(\sqrt2)=\sqrt2\) oraz \(P(\sqrt3)=\sqrt3\). Wyznaczyć współczynniki tego wielomianu.
Rozwiązanie. Z pierwszej równości otrzymujemy
\[
\sqrt2 = P(\sqrt2) = 4+2a\sqrt2+2b+c\sqrt2+d = (4+2b+d)+(2a+c)\sqrt2.
\]
Prowadzi to do równości \((1-2a-c)\sqrt2=4+2b+d\). Z niej wynika, że
\[
1-2a-c=0 \qquad\text{i}\qquad 4+2b+d=0,
\]
bowiem w przeciwnym razie \(\sqrt2=\frac{4+2b+d}{1-2a-c}\) byłby liczbą wymierną, a tak nie jest. Rozumując podobnie dla argumantu \(\sqrt3\), otrzymamy
\[
1-3a-c=0 \qquad\text{i}\qquad 9+3b+d=0.
\]
Zadanie sprowadza się więc do rozwiązania dwóch układów równań liniowych, każdy z dwiema niewiadomymi:
\[
\left\{\begin{array}{rcl} 2a+c & = & 1 \\ 3a+c & = & 1 \end{array}\right. \qquad
\left\{\begin{array}{rcl} 2b+d & = & -4 \\ 3b+d & = & -9 \end{array}\right.
\]
Otrzymujemy z nich
\[
a=0, \qquad b=-5, \qquad c=1, \qquad d=6.
\]
Sprawdzamy, że faktycznie dla \(P(x)=x^4-5x^2+x+6\) mamy \(P(\sqrt2)=\sqrt2\) i \(P(\sqrt3)=\sqrt3\).
Zadanie na 06.10.2017
Wyznaczyć liczbę różnych ustawień na szachownicy \(8\times8\) dwóch identycznych skoczków w taki sposób, by się wzajemnie atakowały.
Rozwiązanie. Para atakujących się skoczków wyznacza w sposób jednoznaczny prostokąt o wymiarach \(2\times3\), a każdy z takich prostokątów wyznacza dokładnie dwie pary atakujących się skoczków. Wobec tego szukana liczba par skoczków jest równa dwukrotności liczby prostokątów \(2\times3\) położonych na szachownicy. Łatwo obliczyć, że jest \(7\cdot6=42\) prostokątów zorientowanych poziomo i tyle samo pionowo. Zatem szukana liczba skoczków wynosi \(168\).
Zadanie na 22.09.2017
Liczby naturalne \(a\), \(b\), \(c\) są nieparzyste. Niech \(d\) będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb \(a+b+c\) i \(a^2+b^2+c^2\). Dowieść, że liczby \(a^3\), \(b^3\), \(c^3\) dają taką samą resztę z dzielenia przez \(d\).
Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że \(d\) jest liczbą nieparzystą jako wspólny dzielnik liczb nieparzystych \(a+b+c\) i \(a^2+b^2+c^2\). Niech \(a+b+c=nd\) i \(a^2+b^2+c^2=md\). Wówczas
\begin{align*}
md & = a^2+b^2+c^2\\
& = a^2+b^2+(nd-a-b)^2\\
& = 2a^2+2ab+2b^2 + d(n^2d-2an-2bn),
\end{align*}
z czego wnioskujemy, że \(d\mid 2(a^2+ab+b^2)\), czyli \(d\mid a^2+ab+b^2\), gdyż \(d\) jest nieparzysty. Zatem liczba \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) jest podzielna przez \(d\), co jest równoważne stwierdzeniu, że liczby \(a^3\) i \(b^3\) dają taką samą resztę z dzielenia przez \(d\). Analogicznie dowodzimy, że \(b^3\) i \(c^3\) dają taką samą resztę.
Zadanie na 8.09.2017
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\). Dowieść, że zbiór wszystkich punktów \(P\) spełniających równość
\[
|AP|^2+|BP|^2=|CP|^2
\]
jest okręgiem.
Rozwiązanie. Umieśćmy trójkąt \(ABC\) w układzie współrzędnych, w którym punktem \(O=(0,0)\) jest spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\), a oś \(OX\) pokrywa się z prostą \(AB\). Wówczas możemy zapisać \(A=(a,0)\), \(B=(b,0)\) i \(C=(0,c)\). Punkt \(P=(x,y)\) spełnia warunek
\[
(a-x)^2+(0-y)^2 + (b-x)^2+(0-y)^2 = (0-x)^2 + (c-y)^2,
\]
równoważnie \((x-a-b)^2 + (y+c)^2 = 2(c^2+ab)\). Jest to równanie okręgu o środku \((a+b,-c)\) i promieniu \(\sqrt{2(c^2+ab)}\) pod warunkiem, że \(c^2+ab>0\). Trzeba wykazać tę nierówność. W tym celu rozważmy taki punkt \(D\) na wysokości \(CO\), że kąt \(ADB\) jest prosty. Wówczas \(-ab=|a|\cdot|b|=|OD|^2 \lt c^2\), co kończy dowód.
Zadanie na 25.08.2017
Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), spełniających równanie
\[
40x^2+10y^2+1 = 12x+2y.
\]
Rozwiązanie. Zapiszmy dane równanie równoważnie:
\[36x^2+y^2+1-12x-2y+12xy + 4x^2-12xy+9y^2 = 0,\]
czyli po zwinięciu \((6x+y-1)^2+(2x-3y)^2=0\). Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nasze równanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą równości
\[6x+y=1, \qquad 2x-3y=0.\]
Teraz już bez trudu znajdujemy szukane wartości \(x=\frac{3}{20}\) i \(y=\frac{1}{10}\). Jest to jedyne rozwiązanie.