Zadania z gwiazdką

Zadanie na 3.11.2017
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n\ge3$ o następującej własności: w przestrzeni trójwymiarowej można wskazać różne punkty $A_1,A_2,\ldots,A_n$, dla których zachodzą warunki:
$$A_1A_2 \bot A_2A_3, \quad A_2A_3 \bot A_3A_4, \quad \ldots, \quad A_{n-1}A_n \bot A_nA_1, \quad A_nA_1 \bot A_1A_2.$$

Zadanie na 20.10.2017
Rozważmy wielomian $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$, w którym współczynniki $a$, $b$, $c$, $d$ są liczbami wymiernymi. Wiadomo, że $P(\sqrt2)=\sqrt2$ oraz $P(\sqrt3)=\sqrt3$. Wyznaczyć współczynniki tego wielomianu.

Rozwiązanie. Z pierwszej równości otrzymujemy
$$\sqrt2 = P(\sqrt2) = 4+2a\sqrt2+2b+c\sqrt2+d = (4+2b+d)+(2a+c)\sqrt2.$$
Prowadzi to do równości $(1-2a-c)\sqrt2=4+2b+d$. Z niej wynika, że
$$1-2a-c=0 \qquad\text{i}\qquad 4+2b+d=0,$$
bowiem w przeciwnym razie $\sqrt2=\frac{4+2b+d}{1-2a-c}$ byłby liczbą wymierną, a tak nie jest. Rozumując podobnie dla argumantu $\sqrt3$, otrzymamy
$$1-3a-c=0 \qquad\text{i}\qquad 9+3b+d=0.$$
Zadanie sprowadza się więc do rozwiązania dwóch układów równań liniowych, każdy z dwiema niewiadomymi:
$$\left\{\begin{array}{rcl} 2a+c & = & 1 \\ 3a+c & = & 1 \end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{rcl} 2b+d & = & -4 \\ 3b+d & = & -9 \end{array}\right.$$
Otrzymujemy z nich
$$a=0, \qquad b=-5, \qquad c=1, \qquad d=6.$$
Sprawdzamy, że faktycznie dla $P(x)=x^4-5x^2+x+6$ mamy $P(\sqrt2)=\sqrt2$ i $P(\sqrt3)=\sqrt3$.

Zadanie na 06.10.2017
Wyznaczyć liczbę różnych ustawień na szachownicy $8\times8$ dwóch identycznych skoczków w taki sposób, by się wzajemnie atakowały.

Rozwiązanie. Para atakujących się skoczków wyznacza w sposób jednoznaczny prostokąt o wymiarach $2\times3$, a każdy z takich prostokątów wyznacza dokładnie dwie pary atakujących się skoczków. Wobec tego szukana liczba par skoczków jest równa dwukrotności liczby prostokątów $2\times3$ położonych na szachownicy. Łatwo obliczyć, że jest $7\cdot6=42$ prostokątów zorientowanych poziomo i tyle samo pionowo. Zatem szukana liczba skoczków wynosi $168$.

Zadanie na 22.09.2017
Liczby naturalne $a$, $b$, $c$ są nieparzyste. Niech $d$ będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb $a+b+c$ i $a^2+b^2+c^2$. Dowieść, że liczby $a^3$, $b^3$, $c^3$ dają taką samą resztę z dzielenia przez $d$.

Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że $d$ jest liczbą nieparzystą jako wspólny dzielnik liczb nieparzystych $a+b+c$ i $a^2+b^2+c^2$. Niech $a+b+c=nd$ i $a^2+b^2+c^2=md$. Wówczas
$$\begin{align*} md & = a^2+b^2+c^2\\ & = a^2+b^2+(nd-a-b)^2\\ & = 2a^2+2ab+2b^2 + d(n^2d-2an-2bn), \end{align*}$$
z czego wnioskujemy, że $d\mid 2(a^2+ab+b^2)$, czyli $d\mid a^2+ab+b^2$, gdyż $d$ jest nieparzysty. Zatem liczba $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ jest podzielna przez $d$, co jest równoważne stwierdzeniu, że liczby $a^3$ i $b^3$ dają taką samą resztę z dzielenia przez $d$. Analogicznie dowodzimy, że $b^3$ i $c^3$ dają taką samą resztę.

Zadanie na 8.09.2017
Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$. Dowieść, że zbiór wszystkich punktów $P$ spełniających równość
$$|AP|^2+|BP|^2=|CP|^2$$
jest okręgiem.

Rozwiązanie. Umieśćmy trójkąt $ABC$ w układzie współrzędnych, w którym punktem $O=(0,0)$ jest spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$, a oś $OX$ pokrywa się z prostą $AB$. Wówczas możemy zapisać $A=(a,0)$, $B=(b,0)$ i $C=(0,c)$. Punkt $P=(x,y)$ spełnia warunek
$$(a-x)^2+(0-y)^2 + (b-x)^2+(0-y)^2 = (0-x)^2 + (c-y)^2,$$
równoważnie $(x-a-b)^2 + (y+c)^2 = 2(c^2+ab)$. Jest to równanie okręgu o środku $(a+b,-c)$ i promieniu $\sqrt{2(c^2+ab)}$ pod warunkiem, że $c^2+ab>0$. Trzeba wykazać tę nierówność. W tym celu rozważmy taki punkt $D$ na wysokości $CO$, że kąt $ADB$ jest prosty. Wówczas $-ab=|a|\cdot|b|=|OD|^2 \lt c^2$, co kończy dowód.

Zadanie na 25.08.2017
Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych $x$ i $y$, spełniających równanie
$$40x^2+10y^2+1 = 12x+2y.$$

Rozwiązanie. Zapiszmy dane równanie równoważnie:
$$36x^2+y^2+1-12x-2y+12xy + 4x^2-12xy+9y^2 = 0,$$
czyli po zwinięciu $(6x+y-1)^2+(2x-3y)^2=0$. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nasze równanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą równości
$$6x+y=1, \qquad 2x-3y=0.$$
Teraz już bez trudu znajdujemy szukane wartości $x=\frac{3}{20}$ i $y=\frac{1}{10}$. Jest to jedyne rozwiązanie.