Processing math: 100%
Poznański Portal Matematyczny

Zadania z gwiazdką

Zadanie na 3.11.2017
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n3 o następującej własności: w przestrzeni trójwymiarowej można wskazać różne punkty A1,A2,,An, dla których zachodzą warunki:
A1A2A2A3,A2A3A3A4,,An1AnAnA1,AnA1A1A2.

Zadanie na 20.10.2017
Rozważmy wielomian P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d, w którym współczynniki a, b, c, d są liczbami wymiernymi. Wiadomo, że P(2)=2 oraz P(3)=3. Wyznaczyć współczynniki tego wielomianu.

Rozwiązanie. Z pierwszej równości otrzymujemy
2=P(2)=4+2a2+2b+c2+d=(4+2b+d)+(2a+c)2.


Prowadzi to do równości (12ac)2=4+2b+d. Z niej wynika, że
12ac=0i4+2b+d=0,

bowiem w przeciwnym razie 2=4+2b+d12ac byłby liczbą wymierną, a tak nie jest. Rozumując podobnie dla argumantu 3, otrzymamy
13ac=0i9+3b+d=0.

Zadanie sprowadza się więc do rozwiązania dwóch układów równań liniowych, każdy z dwiema niewiadomymi:
{2a+c=13a+c=1{2b+d=43b+d=9

Otrzymujemy z nich
a=0,b=5,c=1,d=6.

Sprawdzamy, że faktycznie dla P(x)=x45x2+x+6 mamy P(2)=2 i P(3)=3.

Zadanie na 06.10.2017
Wyznaczyć liczbę różnych ustawień na szachownicy 8×8 dwóch identycznych skoczków w taki sposób, by się wzajemnie atakowały.

Rozwiązanie. Para atakujących się skoczków wyznacza w sposób jednoznaczny prostokąt o wymiarach 2×3, a każdy z takich prostokątów wyznacza dokładnie dwie pary atakujących się skoczków. Wobec tego szukana liczba par skoczków jest równa dwukrotności liczby prostokątów 2×3 położonych na szachownicy. Łatwo obliczyć, że jest 76=42 prostokątów zorientowanych poziomo i tyle samo pionowo. Zatem szukana liczba skoczków wynosi 168.

Zadanie na 22.09.2017
Liczby naturalne a, b, c są nieparzyste. Niech d będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb a+b+c i a2+b2+c2. Dowieść, że liczby a3, b3, c3 dają taką samą resztę z dzielenia przez d.

Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że d jest liczbą nieparzystą jako wspólny dzielnik liczb nieparzystych a+b+c i a2+b2+c2. Niech a+b+c=nd i a2+b2+c2=md. Wówczas
md=a2+b2+c2=a2+b2+(ndab)2=2a2+2ab+2b2+d(n2d2an2bn),


z czego wnioskujemy, że d2(a2+ab+b2), czyli da2+ab+b2, gdyż d jest nieparzysty. Zatem liczba a3b3=(ab)(a2+ab+b2) jest podzielna przez d, co jest równoważne stwierdzeniu, że liczby a3 i b3 dają taką samą resztę z dzielenia przez d. Analogicznie dowodzimy, że b3 i c3 dają taką samą resztę.

Zadanie na 8.09.2017
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Dowieść, że zbiór wszystkich punktów P spełniających równość
|AP|2+|BP|2=|CP|2


jest okręgiem.

Rozwiązanie. Umieśćmy trójkąt ABC w układzie współrzędnych, w którym punktem O=(0,0) jest spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka C, a oś OX pokrywa się z prostą AB. Wówczas możemy zapisać A=(a,0), B=(b,0) i C=(0,c). Punkt P=(x,y) spełnia warunek
(ax)2+(0y)2+(bx)2+(0y)2=(0x)2+(cy)2,


równoważnie (xab)2+(y+c)2=2(c2+ab). Jest to równanie okręgu o środku (a+b,c) i promieniu 2(c2+ab) pod warunkiem, że c2+ab>0. Trzeba wykazać tę nierówność. W tym celu rozważmy taki punkt D na wysokości CO, że kąt ADB jest prosty. Wówczas ab=|a||b|=|OD|2<c2, co kończy dowód.

Zadanie na 25.08.2017
Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych x i y, spełniających równanie
40x2+10y2+1=12x+2y.

Rozwiązanie. Zapiszmy dane równanie równoważnie:
36x2+y2+112x2y+12xy+4x212xy+9y2=0,


czyli po zwinięciu (6x+y1)2+(2x3y)2=0. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nasze równanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą równości
6x+y=1,2x3y=0.

Teraz już bez trudu znajdujemy szukane wartości x=320 i y=110. Jest to jedyne rozwiązanie.

Do góry
Ta strona wykorzystuje pliki cookies

Ta strona wykorzystuje pliki cookies do zapewniania najwyższej wygody korzystania z serwisu. Te same pliki mogą być wykorzystywane przez współpracujące z nami firmy w celach badawczych. Jeśli wyrażasz zgodę na nasze działania, zamknij ten komunikat. Pamiętaj, że zawsze możesz wyłączyć obsługę plików cookies w swojej przeglądarce.

Zamknij