Przeciętny człowiek, zapytany, z czym mu się kojarzy matematyka, lub co jest podstawowym przedmiotem jej zainteresowania, prawdopodobnie odpowie, że liczby; niektórzy, pamiętając jeszcze szkolny kurs geometrii, dodadzą może, że figury geometryczne. Oczywiście prawdą jest, że liczby i figury zajmują ważne miejsce w matematyce; okazuje się jednak, że daleko im do jej podstawowego pojęcia.
Rzecz jasna, gdy patrzymy na matematykę z punktu widzenia jej użytkownika – inżyniera, ekonomisty, informatyka itd. – mało nas interesuje, co matematycy uważają za elementarną cegiełkę, z której konstruuje się pojęcia matematyczne. Jest jednak w człowieku pewien pociąg do szukania fundamentalnych zasad, podstawowych składowych. Już w starożytności próbowano sprowadzić cały świat materialny do czterech żywiołów czy temperament człowieka do czterech podstawowych typów. Co więcej, wygląda na to, że próby takie nie są pozbawione sensu: oto na przykład większa część materii, z której są zbudowane ziemia, rośliny, zwierzęta i wreszcie nasze ciała, składa się przede wszystkim z protonów, neutronów i elektronów, gdy spojrzymy nań okiem fizyka; z atomów (i to niezbyt wielkiej liczby rodzajów, dających się wypisać w zgrabnej tabelce na jednej stronie) i cząsteczek, gdy spojrzymy nań okiem chemika; z komórek o charakterystycznej i podobnej budowie, gdy przyglądać mu się będziemy okiem biologa. Dlaczego więc nie zadać podobnego pytania o pojęcia matematyczne? Czy rzeczywiście matematyk zaczyna od liczb i z nich buduje bardziej złożone pojęcia?
Okazuje się, że nie. Liczby – i to nawet tak podstawowa ich wersja, jak liczby naturalne – są całkiem złożonym tworem, dającym się bez problemu zbudować z prostszych cegiełek. Jakich? O, to długa historia; w największym skrócie odpowiedź brzmi: to zależy. W tym artykule przyjrzymy się jednemu z możliwych (i chyba najpopularniejszemu, przynajmniej wśród matematyków) sposobów zdefiniowania liczb naturalnych.
Zanim jednak poznamy tę konstrukcję, wypada poświęcić chwilkę na krótkie omówienie bardzo doniosłego zagadnienia: kwestii definiowania pojęć w matematyce.
W odróżnieniu od większości innych nauk, spora część definicji matematycznych ma bardzo charakterystyczną postać: są to tak zwane definicje aksjomatyczne. Budowę teorii matematycznej rozpoczynamy mianowicie od wymienienia tzw. pojęć pierwotnych – np. w przypadku klasycznej geometrii płaskiej mogą to być punkt i prosta. Popularnie mówi się niekiedy, że pojęć pierwotnych nie definiuje się. Nie jest to do końca prawda – owszem, są one definiowane, ale właśnie aksjomatycznie. Cóż to oznacza? Otóż podanie definicji aksjomatycznej polega na wypisaniu własności definiowanego pojęcia (zwanych właśnie aksjomatami) i zadekretowaniu, że każdy obiekt mający te własności podpada pod naszą definicję. Poza matematyką sposobu tego używa się rzadko, gdyż łatwo o pomyłkę i podanie zbyt krótkiej lub zbyt długiej listy aksjomatów. W pierwszym przypadku może okazać się, że nasza definicja jest zbyt pojemna, i przez sito aksjomatów prześlizguje się zbyt wiele obiektów; w drugim może okazać się, że definicja jest zbyt restrykcyjna, i w skrajnym przypadku nic nie spełnia całej listy własności.
Popularną ilustracją pierwszego przypadku jest słynna anegdota o Platonie, który chciał zdefiniować człowieka jako „dwunożne zwierzę bez piór”; Diogenes oskubał więc koguta, postawił i ogłosił: „oto jest człowiek Platona!”.
Ilustracją drugiego przypadku niech będzie „definicja” słonia. Otóż każde zwierzę, które ma (1) cztery nogi, (2) trąbę i (3) długie kły, nazywamy słoniem. Każdy może potwierdzić, że definicja wydaje się całkiem dobra – niestety, słonie z uciętymi kłami nie mają ostatniej własności z listy, zatem według naszej „definicji” w ogóle nie zasługują na miano słoni!
Jeszcze bardziej jaskrawym przykładem zbyt wąskiej definicji jest następująca definicja jednorożca: otóż jednorożec to zwierzę, które: (1) ma cztery nogi i (2) wyrastający z czoła spiczasty róg oraz (3) potrafi czarować. Nietrudno zgodzić się, że definicja zdaje się poprawna – tyle, że żadne zwierzę jej nie spełnia, jednorożców po prostu nie ma!
Na podobnej zasadzie możemy zdefiniować liczby naturalne. Nie wchodząc w szczegóły, idea definicji aksjomatycznej liczb naturalnych (pochodzą- ca od matematyka włoskiego Giuseppe Peana, żyjącego w latach 1858–1932) jest mniej więcej następująca. Otóż nie interesuje nas natura obiektów, które będziemy nazywać liczbami naturalnymi – mogą to być np. napisy na papierze, albo wybrane, szczególne elementy zbioru liczb rzeczywistych (oczywiście zakładając, że dysponujemy już pojęciem liczb rzeczywistych!), czy nawet wybrane punkty prostej – osi liczbowej. Ważne jest dla nas tyle tylko, by spełniały one kilka podstawowych własności. Jedną z nich jest oczekiwanie, by jedna z liczb naturalnych była wyróżniona w pewnym sensie (jakim – o tym za moment); nazwiemy ją zerem i oznaczymy symbolem 0. Kolejnych kilka własności pozwala na sprawdzanie, czy dwie liczby naturalne są równe; mamy tu np. postulat, by jeżeli pewna liczba naturalna k jest równa liczbie naturalnej l, to i liczba l jest równa liczbie k. Wreszcie, i tu dochodzimy do najbardziej nas interesującej części, oczekujemy, by dla każdej liczby naturalnej n istniała liczba naturalna S(n) (zwana następnikiem n), przy czym operacja brania następnika ma następujące cechy: po pierwsze, jeżeli dwie liczby mają równe następniki, to same są równe, zaś po drugie, zero nie jest następnikiem żadnej liczby. Nawiasem mówiąc, aksjomatyka Peana zawiera jeszcze jeden, nader istotny aksjomat, tzw. aksjomat indukcji; teraz jednak nie jest on dla nas aż tak istotny, a jego omówienie wykraczałoby poza ramy tego artykułu.
Okazuje się, że mając aksjomaty Peana, jesteśmy w stanie podać definicję dodawania czy mnożenia liczb naturalnych, albo określić, co to znaczy, że jedna liczba jest mniejsza od drugiej; jak to zrobić, opowiem może innym razem. Teraz interesuje nas bowiem kluczowe pytanie: skąd wiadomo, że aksjomatyka Peana jest niesprzeczna, innymi słowy, że liczby naturalne w ogóle istnieją? A może są one podobne raczej do jednorożca, który, choć może bardzo byśmy chcieli, nie istnieje?
Aby udowodnić niesprzeczność aksjomatów liczb naturalnych, możemy postąpić podobnie jak biolog, który chce kogoś przekonać, że zwierzęta tak niesamowite jak słonie istnieją: pokazać komuś słonia. Jeżeli uda nam się opisać obiekt, który spełnia wszystkie aksjomaty Peana, będziemy wiedzieli, że aksjomaty te coś opisują.
Okazuje się, że takich konstrukcji liczb naturalnych jest całkiem sporo. Opiszę najbardziej popularną z nich, pochodzącą od Johna von Neumanna (amerykańskiego matematyka pochodzenia węgierskiego, żyjącego w latach 1903–1957). Konstrukcja ta zakłada, że nie liczby są najbardziej podstawowym składnikiem, z jakiego zbudowane są obiekty matematyczne, ale są nim zbiory (dlaczego akurat zbiory, to – jak wspomnieliśmy – skomplikowana sprawa, w którą nie będziemy teraz wnikać). Dla tych, którzy nie pamiętają za dużo o zbiorach, krótkie przypomnienie: zbiór to coś w rodzaju „pudełka”, w którym mogą znajdować się różne obiekty. Przykładowo, zbiór dzielników naturalnych liczby 6 możemy zapisać tak: {1, 2, 3, 6}. Obiekty należące do zbioru nazywamy jego elementami, przy czym nie muszą to być liczby – może to być cokolwiek, również inne zbiory. Na marginesie odnotujmy, że precyzyjna definicja zbiorów również jest definicją aksjomatyczną! Problem istnienia zbiorów jest sprawą delikatną, w którą również nie będziemy w tym artykule wnikać. Zbiór może mieć elementów dużo bądź mało; zbiór wszystkich liczb naturalnych ma nieskończenie wiele elementów, a zbiór parzystych dzielników liczby 27 nie ma ani jednego elementu. Zbiór taki nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy zwykle symbolem ∅. Już za chwilę odegra on istotną rolę.
Wiedząc już mniej więcej, czym są zbiory, mogę wreszcie opowiedzieć, jak von Neumann – rozpoczynając od zbioru pustego – pokazał, jak skonstruować liczby naturalne. Podkreślmy raz jeszcze, że nie interesuje nas, czym są czy z czego są zrobione liczby naturalne, byleby spełniały aksjomaty Peana. Zacznijmy od definicji zera; umówmy się, że liczba zero to po prostu to samo, co zbiór pusty. Liczba jeden to zbiór jednoelementowy postaci {0}. Skoro jednak liczba zero jest zbiorem pustym, zatem liczba jeden to nic innego, jak zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty. Wprawdzie na pierwszy rzut oka zbiór taki przypomina zbiór pusty, ale jednak jest zupełnie czym innym. Zbiór pusty to „puste pudełko”, a nasz zbiór to pudełko, w którym jest jedna rzecz – mianowicie inne pudełko, tym razem ono puste! Liczba dwa to zbiór, którego elementami są liczby zero i jeden – innymi słowy, pudełko, w którym znajdują się: puste pudełko i jeszcze dwa pudełka, jedno w drugim. Postępowanie to możemy kontynuować: każda kolejna liczba jest po prostu zbiorem wszystkich poprzednich.
Oczywiście, na tym nie koniec. Należy jeszcze udowodnić, że tak zbudowane liczby naturalne spełniają odpowiednie aksjomaty. Dowód taki wykracza jednak poza ramy tego artykułu. Kolejnym zaś krokiem byłoby pokazanie, jak – mając do dyspozycji liczby naturalne – można otrzymać liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste itd.
Na koniec dodajmy, że opisana konstrukcja, choć sprytnie pomyślana, jest jednak dość niepraktyczna. W codziennym postępowaniu liczby naturalne określamy inaczej – jako pewne napisy w pozycyjnym systemie liczenia (najczęściej dziesiętnym, jeżeli mają ich używać ludzie, a dwójkowym, jeżeli komputery). Dlatego też w codziennej praktyce matematycznej traktujemy np. zero i zbiór pusty jako różne obiekty. Dobrze jest jednak wiedzieć, że to nie liczby, ale zbiory są dla matematyka najbardziej fundamentalnym pojęciem, z którego większość innych (na przykład różne rodzaje liczb, ale też np. funkcje czy figury geometryczne) można skonstruować.
Ten artykuł został sfinansowany dzięki wsparciu pozyskanemu przez Poznańską Fundację Matematyczną z Fundacji mBanku na realizację projektu „Potęga matematyki”.
