W poprzednich dwóch artykułach opowiedziałem, jak można – dysponując już to pojęciem zbioru, już to pojęciem funkcji – skonstruować obiekt godny miana liczb naturalnych. Wiemy jednak dobrze (nie tylko ze szkoły), że liczby naturalne to za mało, by opisywać świat – potrzebne nam są jeszcze między innymi liczby całkowite (aby móc mówić o liczbach ujemnych, na przykład temperaturach czy długach) i wymierne (aby móc mówić o ułamkach, na przykład kawałkach pizzy czy udziałach w spółce). Dziś zatem spróbujemy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak – dysponując już liczbami naturalnymi, które można dodawać i mnożyć, ale nie zawsze odejmować czy dzielić – zdefiniować liczby całkowite (które pozwalają na odejmowanie bez ograniczeń) i wymierne (które pozwalają na dzielenie niemal bez ograniczeń – wszak przez zero dzielić jednak nie można!).
Pozwolę sobie przy tym na pewną nonszalancję, którą – mam nadzieję – Czytelnicy mi wybaczą: najpierw opiszę, jak zdefiniować liczby wymierne mając liczby całkowite, a następnie, jak zdefiniować liczby całowite mając liczby naturalne. Powód tej niestandardowej kolejności wynika z tego, że matematycznie obie definicje są bardzo podobne, ale przyjęta dla liczb całkowitych notacja jest całkiem odmienna od sposobu ich definiowania, podczas gdy zapis liczb wymiernych jest do tego sposobu bardzo zbliżony.
Zacznijmy zatem od liczb wymiernych. Liczbę wymierną (czyli ułamek) zapisujemy, jak wiadomo, jako parę liczb całkowitych (zwyczajowo pisząc je jedną pod drugą i oddzielając kreską), na przykład tak: \(\frac12\). Ponadto, na liczbach wymiernych możemy wykonywać działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, mające znane własności – łączność i przemienność dodawania i mnożenia, rozdzielność mnożenia względem dodawania itd. (matematycy mówią, że liczby wymierne tworzą ciało).
Oczywiście, nietrudno podać ogólne wzory pozwalające wyliczyć wyniki tych działań, na przykład \(\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}\). Jest jednak pewien problem: tę samą liczbę wymierną można opisać różnymi parami liczb całkowitych – na przykład \(\frac12=\frac24=\frac36=\dots\). Innymi słowy, najtrudniejszym momentem nie jest poprawne zdefiniowanie działań, ale równości liczb wymiernych, bowiem równość \(\frac ab=\frac cd\) nie oznacza tak po prostu spełnienia jednocześnie równości \(a=c\) i \(c=d\).
Można sobie poradzić z tym problemem, zastrzegając, że para liczb całkowitych opisująca liczbę wymierną musi być parą liczb względnie pierwszych – innymi słowy, rozważając jedynie ułamki nieskracalne. Czy jednak w takim razie tą „właściwą” reprezentacją liczby \(0{,}5\) powinno być \(\frac{1}{2}\) czy może \(\frac{-1}{-2}\)? Naturalnie, możemy dodać warunek, że mianownik (zagadka – czemu nie licznik?) powinien być dodatni. Taka definicja byłaby już poprawna (oczywiście, do definicji działań należałoby dodać zastrzeżenie, że po wykonaniu danej operacji należy skrócić ułamek do odpowiedniej postaci), ale niezbyt elegancka. Zawierałaby bowiem zarówno kwestie istotne (jak np. zasady wykonywania działań na liczbach wymiernych), jak i w sumie dość marginalne (jak określenie, który ze sposobów zapisu jest „tym właściwym”).
Z tego też powodu, matematycy radzą sobie z tym problemem całkowicie inaczej. Skoro nie chcemy decydować, który z zapisów – \(\frac{1}{2}\), \(\frac{-1}{-2}\), \(\frac{4}{8}\), \(\frac{-50}{-100}\) itd. – jest „właściwy”, potraktujmy je wszystkie równorzędnie, i umówmy się, że liczbą wymierną jest dopiero zbiór wszystkich „zapisów” tej postaci. Ponieważ zaś wypisywanie całego tego zbioru (który jest wszak nieskończony) jest w praktyce niewygodne, umówmy się, że na potrzeby wykonywania obliczeń będziemy zapisywać którykolwiek z „reprezentantów” – najlepiej taki, jaki jest dla nas w danej chwili najwygodniejszy. Przykładowo, gdy mamy liczbę \(\frac{1}{2}\) dodać do liczby \(\frac{1}{3}\), wygodnie będzie je zapisać jako \(\frac{3}{6}\) i \(\frac{2}{6}\); gdybyśmy zaś chcieli dodać ją do \(\frac{1}{12}\), zapiszemy je jako \(\frac{6}{12}\) i \(\frac{1}{12}\). W ten sposób zachowujemy prostotę definicji działań na liczbach wymiernych (pisząc po prostu \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\) i nie martwiąc się, czy otrzymamy ułamek nieskracalny czy też nie), a jednocześnie nie mamy problemu z określeniem, czy dwie liczby wymierne są równe – po prostu, zarówno np. symbol \(\frac12\), jak i \(\frac36\) traktujemy jako skrótowy zapis zbioru par liczb całkowitych postaci \(\{\dots,\frac{-1}{-2},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\dots\}\) i stąd \(\frac12=\frac36\).
Okazuje się jednak, że nie jest tak zupełnie różowo. Pewien wysiłek w zdefiniowanie liczb wymiernych jednak trzeba włożyć. W powyższym opisie poprzestaliśmy na intuicji, i nie uzasadnialiśmy jakoś szczególnie preceyzyjnie naszego wyboru zbioru oznaczającego ułamek „jedna druga”. Aby zrobić to starannie, matematycy używają tzw. zasady abstrakcji, czyli pewnej metody definiowania pojęć wykorzystującej koncepcje „relacji równoważności” i „klas abstrakcji”.
Cóż to mianowicie jest „relacja”? Otóż jest to własność, która może przysługiwać parom obiektów. Klasycznym przykładem relacji (określonej np. w zbiorze liczb całkowitych) jest relacja „bycia mniejszą”. Jeżeli mamy dwie liczby, \(x\) i \(y\), to albo \(x\) jest mniejsza niż \(y\), albo też nie. (Matematycznie relacje określa się jako pewne zbiory, ale to nas w tej chwili nie interesuje.) Pojęcia relacji można użyć, by wyrazić myśl, że dwie pary liczb całkowitych, z których druga („mianownik”) jest różna od zera, są „równoważne”, czyli „oznaczają ten sam ułamek”. Powiemy mianowicie, że pary \(\frac{a}{b}\) i \(\frac{c}{d}\) są równoważne (i napiszemy \(\frac{a}{b}\sim\frac{c}{d}\)), jeżeli \(ad=bc\). (Zauważmy, że – skoro dysponujemy liczbami całkowitymi, a dopiero definiujemy liczby wymierne – nie możemy korzystać z dzielenia!) W ten sposób zdefiniowaliśmy pewną relację, która może zachodzić (lub nie) między dwiema parami liczb całkowitych („ułamków”).
Tak określona relacja ma pewne ważne własności. Po pierwsze, każda para liczb jest równoważna samej sobie (istotnie, zachodzenie relacji \(\frac{a}{b}\sim\frac{a}{b}\) oznacza tyle samo, co \(ab=ba\), co jest prawdą). Po drugie, jeżeli \(\frac{a}{b}\sim\frac{c}{d}\), to i \(\frac{c}{d}\sim\frac{a}{b}\) (gdyż jeżeli \(ad=bc\), to \(cb=da\)). Wreszcie po trzecie, jeżeli para \(\frac{a}{b}\) jest równoważna parze \(\frac{c}{d}\), która z kolei jest równoważna parze \(\frac{e}{f}\), to para \(\frac{a}{b}\) też jest równoważna parze \(\frac{e}{f}\) (tym razem krótki dowód pozostawiamy Czytelnikom, odnotowując jedynie, że w tym miejscu potrzebne jest założenie niezerowania się mianownika).
Powyższe trzy własności pojawiają się w matematyce na tyle często, że mają swoje specjalne nazwy – mówimy mianowicie, że zdefiniowana wyżej relacja równoważności par liczb jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Relacje mające te trzy własności (nazywane w matematyce właśnie relacjami równoważności) pozwalają podzielić wszystkie pary liczb całkowitych, z których druga nie zeruje się, na klasy abstrakcji. Cóż to takiego? Ano klasa abstrakcji to zbiór o tej własności, że każde dwa jego elementy pozostają do siebie w naszej relacji. Przykładowo, klasa abstrakcji pary \(\frac12\) to zbiór wszystkich par równoważnych tej parze, czyli po prostu zbiór \(\{\dots,\frac{-1}{-2},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\dots\}\). Ten właśnie zbiór nazwiemy liczbą wymierną i będziemy go oznaczać którymkolwiek z symboli: \(\frac{-1}{-2}\), \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{4}\), \(\frac{3}{6}\) (w zależności od tego, który w danej chwili będzie dla nas najwygodniejszy).
Podsumujmy. Ponieważ zdefiniowanie liczby wymiernej po prostu jako pary liczb całkowitych powoduje problemy z równością (chcielibyśmy móc umówić się, że np. \(\frac12=\frac36\), mimo że pary te są różne), przyjmujemy zasadę, że liczbą wymierną nazywamy cały zbiór wszystkich par, które „ją oznaczają”. Mówiąc bardziej precyzyjnie, określamy pewną relację równoważności wśród par liczb, co pozwala nam pogrupować je w zbiory par równoważnych. Dopiero każdy taki zbiór („klasę abstrakcji”) nazywamy liczbą wymierną. Równość \(\frac12=\frac36\) oznacza teraz po prostu, że pary \(\frac12\) i \(\frac36\) wpadają do tej samej klasy – czyli że są równoważne.
Nie jest to koniec historii – należałoby teraz zdefiniować jeszcze działania na liczbach wymiernych (czyli odpowiednich zbiorach par!). Nie jest to bardzo trudne zadanie, ale wiąże się ono z nieco żmudnymi rachunkami, które pominiemy.
Pozostaje nam zatem powrócić do obiecanej konstrukcji liczb całkowitych. Teraz, gdy mamy do dyspozycji zasadę abstrakcji (i liczby naturalne), sprawa jest prosta. Bierzemy najpierw zbiór par liczb naturalnych, a następnie umawiamy się, że pary \((k,l)\) i \((m,n)\) będziemy uznawać za równoważne, gdy \(k+n=l+m\). W ten sposób równoważne stają się na przykład pary \((1,0)\), \((2,1)\), \((3,2)\) itd. – zbiór wszystkich tych par nazywamy liczbą całkowitą \(1\). Parami równoważnymi są też pary \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,3)\) itd. – ich zbiór to liczba całkowita \(-1\). Mówiąc intuicyjnie, pary równoważne to te, w których różnica poprzednika i następnika jest stała – ale kluczowa jest tu obserwacja, że w formalnej definicji nie pojawiło się w ogóle pojęcie różnicy (wszak odejmowanie w zbiorze liczb naturalnych nie jest określone – nie każda para liczb naturalnych ma różnicę naturalną!).
Na sam koniec zauważmy, że z opisaną metodą jest jednak pewien drobny problem. Otóż powyższy sposób zdefinowania liczb całkowitych i wymiernych jest całkowicie precyzyjny, ale nie pozwala na powiedzenie, że zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem liczb całkowitych. Innymi słowy, np. liczba naturalna \(1\) jest teraz czym innym niż liczba całkowita \(1\), a ta z kolei jest czym innym niż liczba wymierna \(1\). Ta pierwsza jest bowiem liczbą naturalną, ta druga pewnym zbiorem par liczb naturalnych, a ta trzecia pewnym zbiorem par liczb całkowitych (czyli pewnym zbiorem par pewnych zbiorów par liczb naturalnych – dodajmy do tego definicję liczb naturalnych jako pewnych zbiorów i ból głowy zapewniony…). Matematycy potrafią sobie poradzić i z tym kłopotem, używając pojęć izomorfizmu i zanurzenia izomorficznego, ale to już wykracza poza ramy tego artykułu.
Artykuł został sfinansowany dzięki wsparciu pozyskanemu przez Poznańską Fundację Matematyczną od Miasta Poznań na realizację projektu ,,Potęga matematyki''.