Prezentujemy poniżej jeden z najciekawszych obiektów w matematyce, tzw. zbiór Mandelbrota.
Sposób w jaki powstaje jest równie niezwykły jak jego wygląd!
Każdy punkt na płaszczyźnie odpowiada pewnej parze współrzędnych $(a,b)$, które z kolei zadają liczbę zespoloną $c=a+ib$, gdzie $i=\sqrt{-1}$. Punkt $c$ należy do zbioru Mandelbrota wtedy, gdy powtarzając następującą operację: $$0,c,c^2+c, (c^2+c)^2+c, \ldots$$ punkty nie oddalają się za mocno od początku układu współrzędnych. Tajemniczą operację dodawania i mnożenia liczb zespolonych wykonujemy następująco: $$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,$$ $$(a+bi)+(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$

Warto zauważyć, że $i^2=-1$ ! Liczba zespolona $a+bi$ reprezentuje punkt $(a,b)$ na płaszczyźnie, więc mówimy, że jej moduł (odległość od punktu $0+0i$) wynosi tyle ile odległość punktu $(a,b)$ od punktu $(0,0)$, czyli $\sqrt{a^2+b^2}$. Wzorami zapisujemy to następująco: $$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}.$$ W ten sposób znamy już regułę określającą zbiór Mandelbrota. Możemy ją teraz zapisać dokładniej:

Punkt $c$ należy do zbioru Mandelbrota, gdy istnieje stała $C>0$ taka, że startując od elementu $p_{0}=0$ i tworząc następne wyrazy ciągu w następujący sposób $$p_{n+1}=p_{n}^2+c$$ wyrazy są nie dalej niż o $C$ od punktu $0$, czyli $$|p_{n}|\leq C.$$
Można udowodnić, że wystarczy przyjąć od początku, że stała $C$ równa jest $2$. Uzyskany tą metodą zbiór będzie monochromatyczny, gdy go pokolorujemy. Jeśli chcemy uzyskać bogatszą paletę kolorów, musimy ustalić reguły pośrednie opierające się na tempie uciekania punktów z okręgu o promieniu $2$ wokół zera. Im szybciej punkt ucieka tym będzie np. ciemniejszy i na odwrót: im dłużej punkty $p_{n}$ dla dużych $n$ pozostają w granicach koła o promieniu $2$, tym jaśniejszy jest punkt odpowiadający liczbie zespolonej $c$. Teraz wystarczy uzyskaną skalę przetłumaczyć na gradient kolorów i gotowe.

Punkty tego zbioru wykazują wiele zdumiewających własności, np. przybliżając dokładniej obraz w niektórych pozycjach odkryjemy figury, które wyglądają podobnie do całości. Mówimy, że zbiór Mandelbrota jest samopodobny.

Moduł interaktywny obsługiwany jest myszą. Naciskając lewy przycisk myszy w danym miejscu uzyskujemy powiększenie, w przeciwnym razie naciskając przycisk prawy oddalimy obraz. Parametr rozdzielczość pozwala zmienić nam dokładność wyświetlania obrazu. Liczba iteracji decyduje o tym dla ilu wartości $n$ sprawdzamy warunek $|p_{n}|<2$. Im więcej tym dokładniejszy obraz. Przyciskiem „Zoom” można zmienić tempo przybliżania. Ponadto przycisk po lewej pozwala zmienić kolorystykę obrazu. Gdy znajdziemy interesujący punkt, możemy wczytać ponownie jego współrzędne za pomocą trzech pól edycji i zatwierdzając operację przyciskiem „Ustal pozycję”. Zapraszamy do zabawy!