Processing math: 100%
Poznański Portal Matematyczny

Twierdzenie Feuerbacha

Autor: Ewa Kosińska

Okrąg dziewięciu punktów

W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta – środki boków oraz spodki wysokości – leżą na wspólnym okręgu. Krótko po Feuerbachu, matematyk Orly Terquem niezależnie udowodnił istnienie okręgu i jako pierwszy zwrócił uwagę, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum.

Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera, jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są:

  • środki boków (zaznaczone na niebiesko)
  • spodki trzech wysokości (zaznaczone na czerwono)
  • punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum (zaznaczone na zielono)

okrg

Zainteresowanych dowodem okręgu dziewięciu punktów odsyłam do książki „Wykłady z geometrii” autorstwa Ewy Marchow.

Twierdzenie Feuerbacha

W dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych. Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem Feuerbacha.

Wizualizacja twierdzenia

Przesuwając w dowolne miejsca wierzchołki trójkąta można zauważyć, że okrąg dziewięciu punktów (zaznaczony kolorem czarnym) zawsze jest styczny do okręgu wpisanego (kolor czerwony) jak i okręgów dopisanych do trójkąta (kolor niebieski).
Na wizualizacji zaznaczone są także punkty charakterystyczne okręgu dziewięciu punktów, ich kolory odpowiadają kolorom użytym w definicji.

Definicja (okręgu dopisanego)

Okrąg dopisany do trójkąta – okrąg styczny do jednego z boków trójkąta oraz przedłużeń dwóch pozostałych boków. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych odpowiednich kątów zewnętrznych. Okrąg ten ma dokładnie jeden punkt wspólny z trójkątem.

Oznaczenia użyte w dowodzie:
[A,B] – odcinek o końcach A iB
(AB) – prosta przechodząca przez punkty A i B
ιL(A) – inwersja punktu A względem okręgu L

Dowód twierdzenie Feuerbacha (1)

Zakładamy, że b=|AC|>|AB|=c, X i XA są punktami styczności boku [B,C] z okręgami W i OA odpowiednio, L jest okręgiem o środku w punkcie A i promieniu [A,X]. Zauważmy, że |AX|=|AXA|, gdyż |BX|=|CXA|=pb (gdzie p jest połową obwodu trójkąta). Zatem promień okręgu L jest równy rL=bc2 Okrąg L jest prostopadły do W, gdyż styczna do W przechodzi przez środek L. Podobnie L jest prostopadły do OA. Zatem inwersja względem okręgu L przekształca W na W a OA na OA.

D niech oznacza punkt przecięcia boku [B,C] z dwusieczną (BAC). Druga wspólna styczna obu okręgów przechodząca przez D przecina boki [A,C] i [A,B] w punktach B1 i C1 odpowiednio.

Δ(A,B,C) przystaje do trójkąta Δ(A,B1,C1), gdyż jeden z nich jest obrazem drugiego w symetrii względem prostej (AD). Ponadto, ponieważ

|BD|+|CD|=a oraz |BD|c=|CD|b

Wówczas

|BD|=acb+c i |CD|=abb+c.

Oznaczmy przez B punkt przecięcia prostej (AB) z prostą (B1C1) oraz przez C punkt przecięcia prostej (AC) z prostą (B1C1). Trójkąty Δ(A,B1,C1) i Δ(A,C,B) są podobne, gdyż oba są podobne do Δ(C,C,C1), zatem trójkąt Δ(A,C,B) jest podobny do trójkąta Δ(A,B,C).

Stąd
|AB||AC|=|AC||AB|=bc

Jednocześnie trójkąt Δ(A,D,C) jest podobny do trójkąta Δ(C,D,B1), gdyż (AC)||(AC), zatem

|AD||CD|=|AC||B1C|

feuerbach

Mamy więc
|AC|=(a2acb+c)(bc)(b+c)ab=(bc)22b
Ponieważ
|AB||AC|=|AC||AB|=bc
więc
|AB|=bc(bc)22b=(bc)22c
Zatem
|AB||AB|=c2(bc)22c=(bc)24=(rL)2
oraz
|AC||AC|=b2(bc)22b=(bc)24=(rL)2
a to znaczy, że ιL(B)=B i ιL(C)=C. Obrazem prostej (BC) w inwersji względem L

feuerbach1

jest okrąg przechodzący przez A,B i C, a więc okrąg dziewięciu punktów trójkąta Δ(A,B,C). Obrazem okręgu W w tej inwersji jest W, obrazem okręgu OA jest OA, zatem zarówno W jak OA mają po jednym punkcie wspólnym z okręgiem dziewięciu punktów, jako że prosta (BC) jest styczna zarówno do W jak do OA.

(1) E. Marchow, Wykłady z geometrii, Poznań 2010.

Do góry
Ta strona wykorzystuje pliki cookies

Ta strona wykorzystuje pliki cookies do zapewniania najwyższej wygody korzystania z serwisu. Te same pliki mogą być wykorzystywane przez współpracujące z nami firmy w celach badawczych. Jeśli wyrażasz zgodę na nasze działania, zamknij ten komunikat. Pamiętaj, że zawsze możesz wyłączyć obsługę plików cookies w swojej przeglądarce.

Zamknij