Okrąg dziewięciu punktów
W 1822 roku Karl Wilhelm Feuerbach zauważył, że sześć charakterystycznych punktów trójkąta – środki boków oraz spodki wysokości – leżą na wspólnym okręgu. Krótko po Feuerbachu, matematyk Orly Terquem niezależnie udowodnił istnienie okręgu i jako pierwszy zwrócił uwagę, że leżą na nim również środki odcinków łączących wierzchołki z ortocentrum.
Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera, jest to okrąg, który przechodzi przez dziewięć charakterystycznych punktów dowolnego trójkąta. Punktami tymi są:
- środki boków (zaznaczone na niebiesko)
- spodki trzech wysokości (zaznaczone na czerwono)
- punkty dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum (zaznaczone na zielono)
Zainteresowanych dowodem okręgu dziewięciu punktów odsyłam do książki „Wykłady z geometrii” autorstwa Ewy Marchow.
Twierdzenie Feuerbacha
W dowolnym trójkącie okrąg dziewięciu punktów jest styczny wewnętrznie do okręgu wpisanego i zewnętrznie do trzech okręgów dopisanych. Punkt styczności okręgu wpisanego i okręgu dziewięciu punktów nazywa się często punktem Feuerbacha.
Wizualizacja twierdzenia
Przesuwając w dowolne miejsca wierzchołki trójkąta można zauważyć, że okrąg dziewięciu punktów (zaznaczony kolorem czarnym) zawsze jest styczny do okręgu wpisanego (kolor czerwony) jak i okręgów dopisanych do trójkąta (kolor niebieski).
Na wizualizacji zaznaczone są także punkty charakterystyczne okręgu dziewięciu punktów, ich kolory odpowiadają kolorom użytym w definicji.
Definicja (okręgu dopisanego)
Okrąg dopisany do trójkąta – okrąg styczny do jednego z boków trójkąta oraz przedłużeń dwóch pozostałych boków. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych odpowiednich kątów zewnętrznych. Okrąg ten ma dokładnie jeden punkt wspólny z trójkątem.
Oznaczenia użyte w dowodzie:
[A,B] – odcinek o końcach A iB
(AB) – prosta przechodząca przez punkty A i B
ιL(A) – inwersja punktu A względem okręgu L
Dowód twierdzenie Feuerbacha (1)
Zakładamy, że b=|AC|>|AB|=c, X i XA są punktami styczności boku [B,C] z okręgami W i OA odpowiednio, L jest okręgiem o środku w punkcie A′ i promieniu [A′,X]. Zauważmy, że |A′X|=|A′XA|, gdyż |BX|=|CXA|=p−b (gdzie p jest połową obwodu trójkąta). Zatem promień okręgu L jest równy rL=b−c2 Okrąg L jest prostopadły do W, gdyż styczna do W przechodzi przez środek L. Podobnie L jest prostopadły do OA. Zatem inwersja względem okręgu L przekształca W na W a OA na OA.
D niech oznacza punkt przecięcia boku [B,C] z dwusieczną ∢(BAC). Druga wspólna styczna obu okręgów przechodząca przez D przecina boki [A,C] i [A,B] w punktach B1 i C1 odpowiednio.
Δ(A,B,C) przystaje do trójkąta Δ(A,B1,C1), gdyż jeden z nich jest obrazem drugiego w symetrii względem prostej (AD). Ponadto, ponieważ
|BD|+|CD|=a oraz |BD|c=|CD|b
Wówczas
|BD|=acb+c i |CD|=abb+c.
Oznaczmy przez B” punkt przecięcia prostej (A′B′) z prostą (B1C1) oraz przez C” punkt przecięcia prostej (A′C′) z prostą (B1C1). Trójkąty Δ(A,B1,C1) i Δ(A′,C”,B”) są podobne, gdyż oba są podobne do Δ(C′,C”,C1), zatem trójkąt Δ(A′,C”,B”) jest podobny do trójkąta Δ(A,B,C).
Stąd
|A′B”||A′C”|=|AC||AB|=bc
Jednocześnie trójkąt Δ(A′,D,C”) jest podobny do trójkąta Δ(C,D,B1), gdyż (AC)||(A′C”), zatem
|A′D||CD|=|A′C”||B1C|
Mamy więc
|A′C”|=(a2−acb+c)(b−c)(b+c)ab=(b−c)22b
Ponieważ
|A′B”||A′C”|=|AC||AB|=bc
więc
|A′B”|=bc(b−c)22b=(b−c)22c
Zatem
|A′B′||A′B”|=c2(b−c)22c=(b−c)24=(rL)2
oraz
|A′C′||A′C”|=b2(b−c)22b=(b−c)24=(rL)2
a to znaczy, że ιL(B′)=B” i ιL(C′)=C”. Obrazem prostej (B”C”) w inwersji względem L
jest okrąg przechodzący przez A′,B′ i C′, a więc okrąg dziewięciu punktów trójkąta Δ(A,B,C). Obrazem okręgu W w tej inwersji jest W, obrazem okręgu OA jest OA, zatem zarówno W jak OA mają po jednym punkcie wspólnym z okręgiem dziewięciu punktów, jako że prosta (B”C”) jest styczna zarówno do W jak do OA.
(1) E. Marchow, Wykłady z geometrii, Poznań 2010.