Poznański Portal Matematyczny

O paradoksach I: Paradoksy niematematyczne

Autor: Kazimierz Świrydowicz Redaktor: Marek Kaluba

Uzasadniamy tu dwie tezy. Pierwsza: paradoksy siedzą w języku, nie w świecie; biorą się z niedoskonałości języka, z nieostrożnego posługiwania się językiem, w tym – z argumentacji.

Druga teza: w przypadku matematyki nasze rozeznanie w tym świecie jest na tyle słabe, że wciąż stwierdza się fakty przeczące intuicjom, a same pojęcia matematyczne, służące do opisu świata matematyki wiodą nas na manowce, bywa – że do sprzeczności, jak pojęcie zbioru.

Paradoksy poza matematyką

Rzeczywistość jest niesprzeczna

Takie jest przynajmniej powszechne mniemanie, także na ogół mniemanie filozofów. Chcemy, by nasz obraz świata był prawdziwy, więc zgodny z rzeczywistością, był spójny, niesprzeczny. Gdy się zdarza, że coś w tym obrazie nie pasuje, jest jakaś kolizja między sądami, czujemy się zaniepokojeni i przystępujemy do jego korekty, choćby przez szukanie źródeł niespójności. Zwykle nie akceptuje się dwóch sądów, które są wzajemnie niespójne.

Niespójności

Niespójności na ogół wykrywamy w drodze rozumowania, wnioskowania 1. Z akceptowanych, wyglądających na spójne, intuicyjne, założeń znienacka dochodzi się do nieoczekiwanego wniosku czy nieoczekiwanych, niespójnych i nieintuicyjnych wniosków. A oto przykłady2.

Zegar jest tym lepszy, im częściej poprawnie wskazuje czas.

Zegar stojący jest lepszy od takiego, który chodzi,
ale np. spóźnia się minutę na dobę.

Stojący zegar wskazuje bowiem poprawnie czas dwa razy na dobę (gdy wskazuje czas co 12 godzin); Czytelnik zechce policzyć, kiedy po raz drugi wskaże poprawny czas zegar, który się spóźnia minutę na dobę. Przykład drugi.

Każda osoba pomagająca przestępcom jest przestępcą.
Każdy adwokat jest osobą pomagającą przestępcom.

Każdy adwokat jest przestępcą.

Źródłem niespójności jest nasz język: albo przeprowadzona w nim argumentacja nie ma waloru niezawodności (Patrz na podane niżej dwa przykłady wnioskowań sofistów), albo wnioskowania, które przebiegają wedle niezawodnego schematu, prowadzą do niespójności, a błąd jest ukryty w przesłankach. Bywa różnie. Czasem z tych samych założeń da się wyciągnąć dwa niespójne wnioski, a czasem wyciągnięty wniosek przeczy sądowi, w którego prawdziwość wierzymy.

Łysi i kudłaci

Część paradoksów bierze się więc z nieostrych pojęć, używanych w potocznym języku. Nieostre są terminy ,,łysy”, ,,kudłaty”, ,,kupa piachu” itd.
Przykład.

Teza: Każdy człowiek jest łysy.

Dowód: Człowiek mający tylko jeden włos na głowie jest łysy. Mający dwa włosy też jest łysy, mający trzy też. Zastosujmy indukcję: jeśli ktoś mający \(n\) włosów jest łysy, to mający o jeden włos więcej też jest łysy. Zatem człowiek mający dowolną ilość włosów na głowie jest łysy.
Można to odwrócić, poczynając od kudłatych i wykazać, że łysi nie istnieją.

Analogiczną metodą można wykazać, że nie istnieje kupa piachu, bo jedno ziarnko kupą nie jest, dwa też i dalej jak w rozumowaniu o łysych.
Można także pokazać, ze w turystycznej bazie studenckiej mieści się dowolna (w tym i nieskończona, przeliczalna) ilość studentów: zmieści się jeden student, dwóch, a gdy przyjdzie wieczorem jeszcze jeden, to mimo, ze jest już w bazie \(n\) studentów, zmieści się jeszcze jeden.
Co do rozumowań, przyjrzyjmy się dowodowi ,,twierdzenia”, że każda liczba jest równa swej dwukrotności.
\[
\begin{array}{llr}
1. & x = y & \mbox{założenie}\\
2. & x^2 = xy & \mbox{mnożymy obie strony przez \(x\)}\\
3. & x^2 – y^2 = xy – y^2 & \mbox{odejmujemy \(y^2\)}\\
4. & (x + y)(x – y) = y(x – y) & \mbox{przekształcamy}\\
5. & (x + y) = y & \mbox{dzielimy stronami przez \(x – y\)}\\
6. & 2y = y & \mbox{bo \(x = y\)}.
\end{array}
\]
Spostrzegawczy Czytelnik zauważy, że w wierszu 5 dzieliliśmy przez zero, a to jest niedopuszczalne. Pierwsza niespodzianka matematyczna (,,paradoks”) z którą autor niniejszego tekstu zetknął się (jako nastolatek), dotyczyła kota. Autor popularnej książki matematycznej rozważał następujący problem. Załóżmy, że Ziemia jest idealną kulą o obwodzie 40 tys. km. Na równiku układamy wstęgę. Chcemy, by kot przedostał się z półkuli południowej na północną pod wstęgą. Najprostsze wyjście: przecinamy wstęgę i dosztukujemy 1 metr; można wtedy zrobić bramkę np. wysoką i szeroką na 50cm. Przez tę bramkę przejdzie kot nawet z podniesionym ogonem. Pytanie: zlikwidujmy bramkę i unieśmy taśmę równomiernie, nad cały równik. O ile cm podniesie się taśma? Okazuje się, że ok. 16 cm; wobec czego koty z całego świata mogą sobie swobodnie przechodzić z północy na południe i z powrotem. Szokujące było jednak co innego: rachunki (Czytelnik sprawdzi!) nie zależały ani od promienia Ziemi, ani oczywiście od jej obwodu…

Zacznijmy od początku.

Pierwsze znane paradoksy pochodzą od sofistów (V w. p.n.e.), wędrownych filozofów, nauczających mądrości (rozumianej jako sztuka wygrywania sporów), sportretowanych przez Platona w jego Dialogach. Popatrzmy na przykłady, te najbardziej naiwne:

To jest twój pies,
i ten pies jest ojcem szczeniąt

ten pies jest twoim ojcem.
To jest czarna deska, a to jest biała deska,
ale to jest deska i to jest deska.
To jest czarny człowiek, a to jest biały człowiek,
ale to jest człowiek i to jest człowiek.
To jest czarny pies, a to jest biały pies,
ale to jest pies, i to jest pies.

Nie ma więc różnicy między białym a czarnym,
toteż czarne jest białe, a białe jest czarne.
Każdy złodziej chce rzeczy dobrych,
a każdy, kto chce rzeczy dobrych jest dobry

każdy złodziej jest dobry.

Widać wyraźnie, ze schematy pierwszych dwóch rozumowań są zawodne, a w trzecim mamy do czynienia z wieloznacznością w przesłankach.
Rozumowania takie zwie się sofizmatami; później formułowano podobne, np.

Mysz gryzie książkę;
mysz to wyraz czteroliterowy;

wyraz czteroliterowy gryzie książkę.
Kto tęgo pije, ten mocno śpi;
kto śpi, nie grzeszy,
kto nie grzeszy, jest święty.

kto tęgo pije, jest święty.
Grunt to ziemia,
ziemia to matka,
matka to anioł,
anioł to stróż,
stróż to dozorca.

grunt to dozorca.

(ostatnie dwa rozumowania zwie się łańcusznikami).

Czy istotnie nauczanie sofistów polegało wyłącznie na nauce używania takich chwytów, nie jest pewne; pewne natomiast jest, że Arystoteles w reakcji na takie sposoby argumentacji skodyfikował pewien zbiór niezawodnych schematów wnioskowania i tak się pojawiła tzw sylogistyka Arystotelesa. Nie wyczerpywała ona wszystkich schematów, ale przez ponad dwa tysiące lat był to jedyny znany system logiki.

Zenon, Euathlos i Protagoras

Większość poważniejszych znanych paradoksów pochodzi ze starożytności.
Obok sofizmatów mamy jeszcze paradoksy Zenona z Elei (ok. 490-430 p.n.e.).
Przytoczmy trzy z nich.

  • Achilles nie dogoni żółwia. Przyjmijmy, że żółw znajduje się – przed Achillesem – w punkcie \(a\), Achilles jest za nim w punkcie \(b\).
    Startują jednocześnie. Gdy Achilles dobiegnie do punktu \(a\), nie zastanie tam żółwia, bo żółw w tym czasie przesunie się do punktu \(a_{1}\), gdy Achilles dobiega do \(a_{1}\), to żółw jest już w punkcie \(a_{2}\), gdy Achilles dobiega do \(a_{2}\), to żółw jest już w punkcie \(a_{3}\) itd. Oczywiście odległości pomiędzy \(a_{n}\) i \(a_{n+1}\) są coraz mniejsze, ale wciąż niezerowe.
  • Nie można zacząć wędrówki; np z punktu \(a\) do punktu \(b\). Żeby bowiem przejść z \(a\) do \(b\), trzeba przejść połowę tej odległości, poczynając od \(a\); żeby przejść tę połowę, trzeba przejść połowę tej połowy itd., wobec tego ruch się nie może zacząć.
  • Lecąca strzała w każdym momencie stoi. Skoro stoi, to dlaczego leci?

Paradoksy te rozwiązano dopiero w czasach nowożytnych. Szereg nieskończony może mieć skończoną granicę, toteż Achilles może dogonić żółwia, podobnie jest z drugim paradoksem. Natomiast gorzej jest ze strzałą: nie można się tu obyć bez pojęcia prędkości chwilowej, więc bez analizy matematycznej. Brzmi to też dziwnie: istotnie, strzała w każdym momencie ma położenie (stoi zatem), ale ma prędkość chwilową, więc mimo wszystko leci.

Równie trudny był paradoks Euathlosa i Protagorasa. Protagoras zawarł z uczniem swym Euathlosem umowę: będzie go uczył na prawnika, ale Euathlos zapłaci Protagorasowi, jeśli wygra pierwszą swą sprawę. Euathlos nie miał jednak ochoty płacić więc Protagoras pozwał go do sądu o zapłacenie za naukę. Protagoras rozumował tak: jeśli ja, Protagoras wygram proces, to Euathlos będzie musiał zapłacić za edukację na podstawie wyroku sądu. Jeśli zaś ja, Protagoras przegram, to znaczy, ze Euathlos wygra, a wtedy będzie płacił na podstawie umowy. Tak czy owak, Euathlos będzie płacił. Euathlos rozumował natomiast inaczej: Jeśli ja, Euathlos wygram proces, to znaczy, ze sąd mnie zwolni od płacenia, bo na tym polega moje zwycięstwo w sądzie. Jeśli zaś przegram, to umowa mnie zwalnia od obowiązku płacenia. Tak czy owak nie będę płacił. Kto ma rację?

Paradoks kłamcy

Dodajmy jeszcze starożytny niematematyczny, acz bliski matematyce paradoks paradoks kłamcy (paradoks Eubulidesa). Zajmijmy się wersją następującą.

To zdanie jest fałszywe.

Czy powyższe zadanie jest prawdziwe, czy fałszywe? Jeśli jest prawdziwe, to znaczy, że jest tak, jak ono głosi, zatem jest fałszywe. Jeśli natomiast jest fałszywe, to znaczy, ze nie jest tak, jak ono mówi, czyli jest prawdziwe. Zatem: jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest fałszywe. Ale przecież zdanie jast albo prawdziwe, albo fałszywe.
Skąd się ten paradoks bierze, wyjaśnił dopiero w latach 30 ubiegłego wieku Alfred Tarski. Zdanie, wyrażające paradoks kłamcy orzeka coś o sobie samym, jest samo-zwrotne, odnosi się do siebie samego. Można język konstruować w sposób wykluczający odwoływanie się zdań do samych siebie, wówczas paradoks ten nie da się wysłowić w takim języku, ale, co oczywiste, język ten będzie uboższy, bo nie wszystko da się w nim powiedzieć. Zatem język potoczny dopuszcza samo-zwrotność, przez co dopuszcza zdania sprzeczne. Tarski zdefiniował pojęcie prawdy dla teorii matematycznych i stworzył podwaliny pod teorię modeli semantycznych – działu matematyki, badającego związki miedzy teoriami matematycznymi (zborami napisów) a ich modelami – ,,światami” matematycznymi. Wyjaśnienie paradoksu kłamcy było fragmentem jego badań.
Greków zajmowały jeszcze inne, mniej wyrafinowane paradoksy. Dodajmy jeszcze dwa. Na przykład, dlaczego zdania sprzeczne: ,,Zgubiłeś rogi” i ,,Nie zgubiłeś rogów” (założywszy, że nie byłeś posiadaczem rogów) są jednocześnie fałszywe? Czy wnioskowanie:

Jeśli wiesz, ze umarłeś, to umarłeś (bo nie żyjesz).
jeśli wiesz, ze umarłeś, to nie umarłeś (bo jesteś tego świadom).

nie wiesz, ze umarłeś.

jest poprawne logicznie? I nie jest to bynajmniej komplet paradoksów rozważanych przez Greków…

Przypisy

  1. Mówimy tu o niespójności, a nie o sprzeczności.
    Niespójność jest pojęciem szerszym. Niespójne, acz bynajmniej nie sprzeczne są np. zdania: ,,Każdy człowiek jest zabójcą” i ,,Żaden człowiek nie jest zabójcą”. Zdania te nie mogą być jednocześnie prawdziwe, ale – co widać – są jednocześnie fałszywe.
  2. Pozioma kreska w zapisie wnioskowania zastępuje nam słowo ,,zatem” albo ,,więc”.


Artykuł został sfinansowany dzięki wsparciu pozyskanemu przez Poznańską Fundację Matematyczną od Miasta Poznań na realizację projektu ,,Potęga matematyki''.

Do góry