Każda dyscyplina naukowa posługuje się własnym językiem, rodzajem żargonu, który jest całkowicie zrozumiały dla jej adeptów, ale może przysparzać wielu problemów niespecjalistom. Matematyka nie jest w tym względzie wyjątkiem. Co więcej, język matematyki jest nieodłączną częścią języków wielu innych nauk, w tym nauk przyrodniczych, takich ja biologia, chemia czy fizyka, oraz dyscyplin technicznych, między innymi informatyki. Matematyka jest bowiem wykorzystywana w nauce na wiele sposobów, na przykład niektóre teorie matematyczne dobrze opisują procesy fizyczne, geologiczne czy meteorologiczne, pozwalają na dokonywanie (za pomocą odpowiednich obliczeń) przewidywań dotyczących trzęsień ziemi, huraganów, powodzi i wielu innych zjawisk. Język matematyki jest zatem językiem opisu świata. Warto go poznać i zrozumieć.

Matematyka jest zbiorem teorii opisujących różne jej obiekty. Na przykład teoria mnogości bada własności zbiorów (które poznajemy podczas edukacji przedszkolnej lub w pierwszych latach nauki, w szkole), a geometria opisuje między innymi figury geometryczne (na płaszczyźnie i w przestrzeni) oraz związki pomiędzy nimi. Każda taka teoria to zbiór definicji i twierdzeń wyrażonych w sposób ścisły, w swoistym języku. W poszczególnych teoriach występują specjalne, charakterystyczne dla nich, symbole jednak część oznaczeń jest wspólna dla całej matematyki. Tą właśnie część – symbole logiczne – opiszemy poniżej. Niektóre z nich są dobrze znane uczniom, inne wydają się bardziej tajemnicze – chociaż takie nie są!

Spójniki zdaniowe

Do zrozumienia języka matematyki przydają się (o dziwo!) podstawowe wiadomości z gramatyki języka polskiego. Przypomnijmy, że zdania złożone tworzy się ze zdań prostych poprzez połączenie ich spójnikami zdaniowymi (i, oraz, lub, albo, ponieważ, więc…). Podobnie tworzy się zdania w teoriach matematycznych, tyle, że rolę zdań prostych pełnią pewne wyrażenia matematyczne, a spójników – spójniki logiczne. Niektóre, częściej używane, spójniki logiczne mają swoje nazwy i oczywiście symbole. I tak:

• \(\wedge\) to symbol koniunkcji, który zastępuje spójniki: i, a, oraz, również, ponadto, itp.,
• \(\vee\) to symbol alternatywy, zastępujący spójniki: lub, względnie, bądź, itp.

Możemy już teraz odczytać i zrozumieć następujący zapis, dotyczący liczb naturalnych¹:
\[
[(x>7) \vee (x<2)] \wedge (y>5),
\]
który oznacza: ,,liczba \(x\) jest mniejsza niż 7 lub większa od 2, a \(y\) jest większa od 5”.

Istnieje również symbol negacji (oznaczany jako \(\sim\) lub \(\neg\)) wyrażający przeczenie, czyli zastępujący wyrażenia: ,,nieprawda, że”, ,,nie jest tak, że” itp. Zatem \(\sim(x>7)\) oznacza, że liczba \(x\) nie jest większa od 7 (nieprawda, że \(x\) jest większa niż 7).

Matematycy używają jeszcze dwóch innych symboli (spójników logicznych) zastępujących całe wyrażenia:

• symbolu implikacji w postaci \(\to\) oznaczającego ,,jeżeli …, to …”, jeśli …, to…”
• znaku równoważności \(\leftrightarrow\) będącego skrótem dla wyrażeń ,,wtedy i tylko wtedy, gdy”, ,,zawsze i tylko wtedy, gdy”, ,,jeśli i tylko jeśli”.

Oczywiście powyższych spójników możemy użyć do zapisywania prostych zdań z języka codziennego. Spróbujmy, dla przykładu, zapisać formalnie (w języku matematyki) schemat zdania: ,,polubisz matematykę jeśli uznasz ją za łatwą lub za bardzo potrzebną”. Jest to zdanie złożone z trzech zdań prostych połączonych spójnikami: lub (alternatywa), jeśli (implikacja). Oznaczmy zdania proste literami alfabetu (jak to czynią logicy). I tak:

• \(p\) oznacza zdanie ,,polubisz matematykę”,
• \(q\) oznacza zdanie ,,uznasz ją (matematykę) za łatwą”,
• \(r\) oznacza zdanie ,,uznasz matematykę za bardzo potrzebną”.

Teraz możemy zapisać schemat naszego zdania w postaci \(q \vee r \to p\).

Nikogo nie powinno dziwić, że kolejność liter w schemacie jest inna niż kolejność zdań prostych w wyjściowej wypowiedzi. Wynika to z sensu zdania, co lepiej widać, gdy sformułujemy je trochę inaczej: ,,jeśli uznasz matematykę za łatwą lub za bardzo potrzebną, to ją polubisz”. Czyli przed symbolem implikacji (\(\to\)) umieszczamy oznaczenia zdań znajdujących się po słowie jeśli i przed słowem to; natomiast po tym symbolu zdanie \(p\). Można powiedzieć, że przed symbolem implikacji umieszcza się zdanie (w naszym przykładzie \(q \vee r\)), które jest warunkiem dla zdania znajdującego się po tym symbolu (dla \(p\)).

Oczywiście matematyków najbardziej interesują zdania o treści czysto matematycznej. Przyjrzyjmy się następującemu wyrażeniu, dotyczącemu liczb naturalnych:
\[
[(x=0) \vee (y=0)] \to (x\cdot y=0)
\]

Znając spójniki logiczne z łatwością możemy je doczytać: ,,jeżeli liczba \(x\) jest zerem (\(x\) jest równe 0) lub y jest zerem, to ich iloczyn (\(x\cdot y\)) jest również równy zero”. Łatwe!

Kwantyfikatory

Dla zrozumienia bardziej skomplikowanych wyrażeń matematycznych potrzebna jest jeszcze znajomość dwóch symboli nazywanych kwantyfikatorami. Powszechnie używa się dwóch symboli \(\exists\) oraz \(\forall\).²

Pierwszy z nich, przypominający odwróconą literę E, oznacza ,,istnieje takie…, że…”. Nie jest to symbol przypadkowy, ponieważ angielskie słowo Exists oznacza właśnie ,,istnieje”. A więc, zapis \(\exists\ x\) czytamy: ,,istnieje takie \(x\), że…” , natomiast wyrażenie \(\exists\ {y>0}\) oznacza ,,istnieje takie \(y\) większe od 0, że…”. Kwantyfikator \(\exists\) nazywa się kwantyfikatorem szczegółowym lub po prostu małym.

Kwantyfikator duży (lub ogólny) to odwrócona litera A, od angielskiego słowa All oznaczającego ,,wszyscy” lub ,,każdy”. Zatem \(\forall\ x\) oznacza ,,dla każdego \(x\)” (,,dla wszystkich \(x\)”). Oczywiście, podobnie jak w przypadku kwantyfikatora małego, za symbolem \(\forall\) może znaleźć się jakieś wyrażenie, na przykład ,,\(x < 0\)''. Możemy teraz spróbować odczytać proste zdania dotyczące liczb naturalnych: \[ \forall\ x\ \exists\ y\ (y>x),
\]
jako ,,dla każdej liczby \(x\) istnieje taka liczba \(y\), że \(y\) jest większe od \(x\)”. Co możemy wyrazić jaśniej jako stwierdzenie, że dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba od niej większa. Łatwo stwierdzić, że jest to zdanie prawdziwe ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(x\) wystarczy za \(y\) przyjąć na przykład liczbę \(x+1\), która jest przecież liczbą naturalną większą od \(x\).

Przeanalizujmy jeszcze jeden przykład wyrażenia mówiącego o liczbach naturalnych:
\[
\exists\ x\ \forall\ y\neq x\ (y>x),
\]
które różni się od poprzedniego tylko nieznacznie. Zdanie to można odczytać jako: ,,istnieje taka liczba \(x\), że dla każdej liczby \(y\) różnej od \(x\), \(y\) jest większe od \(x\)”, co oznacza, że istnieje taka liczba naturalna, że wszystkie liczby naturalne różne od niej są od niej większe. Oczywiście taką liczbą naturalną jest 0, ponieważ wszystkie inne liczby są od niej większe.

Powyższe przykłady pokazują, że bardzo podobne wyrażenia z języka matematyki mogą mieć zupełnie inne znaczenie. Wniosek: czytaj uważnie!

Interpretacja spójników

Przyjrzyjmy się na początek następującym stwierdzeniom dotyczącym liczb całkowitych:
\begin{gather}
[(x>0) \wedge (y>0)] \to (x\cdot y>0),\\
[(x>0) \wedge (y>0)] \leftrightarrow (x\cdot y>0).
\end{gather}
Pierwsze z nich orzeka: ,,jeżeli \(x\) jest liczbą większą od zera oraz \(y\) jest liczbą większą od zera, to ich iloczyn \(x\cdot y\) jest większy od zera”. Natomiast zdanie drugie odczytujemy jako: ,,\(x\) jest liczbą większą od zera oraz \(y\) jest liczbą większą od zera, wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn \(x\cdot y\) jest większy od zera”.

Zastanówmy się teraz nad prawdziwością tych zdań. Pierwsze z nich (będące implikacją) jest oczywiście prawdziwe (dla dowolnych liczb całkowitych \(x\), \(y\)) ponieważ jeżeli weźmiemy dwie dowolne liczy większe od 0 (oznaczone przez \(x\) i \(y\)), to w wyniku ich pomnożenia otrzymamy również liczbę większą od 0. Czyli implikacja ta jest prawdziwa.

Drugie zdanie może przysparzać więcej trudności, gdyż jest ona równoważnością. Pytamy się zatem o to, czy dwie liczby są większe od 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest większy od zera. Wiemy już (z analizy zdania pierwszego), że jeżeli dwie liczy są większe od 0, to wtedy ich iloczyn jest większy od zera. Co jednak z wyrażeniem ,,tylko wtedy” (implikacją ,,w przeciwną stronę”)? Czy iloczyn dwóch liczb jest większy od 0 tylko wtedy, gdy obie liczby są większe od 0? Zdecydowanie nie! Przecież iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni (na przykład, \(-3\cdot (-2)=6\)). Z tego wynika, że stwierdzenie drugie nie jest prawdziwe dla dowolnych liczb całkowitych \(x\) i \(y\), wystarczy wziąć na przykład za \(x\) liczbę \(-3\) a za \(y\) liczbę \(-2\) by dostać zdanie fałszywe.

Z powyższego przykładu wynika jak istotna jest właściwa interpretacja spójników logicznych dla zrozumienia zbudowanych z nich wyrażeń matematycznych. Znaczenie tych spójników można przedstawić w postaci tabel, w których prawdę oznacza się przez 1, a fałsz przez 0. Przyjrzyjmy się na początek tabeli prawdziwości dla negacji:

Odczytujemy z niej, że jeżeli zdanie \(p\) jest fałszywe, to jego negacja (\(\sim p\)), czyli zdanie ,,nieprawda, że \(p\)” – jest prawdziwe (drugi wiersz) oraz, że jeżeli zdanie \(p\) jest prawdziwe, to jego negacja jest fałszywa. Istotnie, jeżeli zdanie ,,mam 6 lat” jest fałszywe, to jego negacja (,,Nieprawda, że mam 6 lat”) jest prawdziwa. Oczywiście gdy mam obecnie 6 lat, to sytuacja jest odwrotna.

Z kolei tabela prawdziwości dla koniunkcji ma postać:

W kolumnie ostatniej występuje tylko jedna 1 (symbolizująca prawdę), co oznacza, że zdanie będące koniunkcją jest prawdziwe tylko w jednym przypadku, mianowicie gdy oba zdania, z których jest ono zbudowane są prawdziwe. Jest to całkowicie zgodne z intuicją. Jeżeli bowiem pamiętamy, że symbol \(\wedge\) zastępuje spójnik i (oraz, również) to stwierdzenie ,,byliśmy wczoraj w kinie i na basenie.” jest prawdziwe tylko wtedy, gdy prawdziwe są dwa stwierdzenia: ,,byliśmy wczoraj w kinie” (które można oznaczyć przez \(p\)) oraz ,,byliśmy wczoraj na basenie” (zdanie \(q\)). Jeśli natomiast nie byliśmy przynajmniej w jednym z tych miejsc (na przykład w kinie), to całe zdanie jest fałszywe, podobnie jak w przypadku, gdy przez cały dzień nie wychodziliśmy z domu (wtedy zarówno zdania \(p\) jaki i \(q\) są fałszywe).

Inaczej wygląda sytuacja w przypadku alternatywy. Rozważmy prawdziwość zdania ,,pójdę dzisiaj do kina lub na basen”. Jest ono prawdziwe w trzech przypadkach: gdy pójdę tylko do kina, gdy pójdę tylko na basen oraz w sytuacji, gdy odwiedzę oba te miejsca. Zatem tabela prawdziwości alternatywy wygląda następująco:

Znaczenie pozostałych spójników, implikacji i równoważności, przedstawia następująca tabela:

Wynika z niej, że implikacja jest fałszywa tylko w jednym przypadku: gdy jej poprzednik jest zdaniem prawdziwym a następnik – zdaniem fałszywym. Natomiast równoważność jest prawdziwa, gdy oba tworzące ją zdania mają tę samą wartość logiczną.

Powróćmy teraz do przykładowych zdań (1 oraz 2). Pierwsze z nich \([(x>0) \wedge (y>0)] \to (x\cdot y>0)\) jest prawdziwe ponieważ nie ma takiej możliwości by poprzednik był prawdziwy (liczby \(x\) i \(y\) są większe od 0) i jednocześnie następnik był fałszywy (iloczyn tych liczby jest mniejszy lub równy zero). Z kolei zdanie drugie jest fałszywe, ponieważ zdanie \(p\): \(x\cdot y>0\) może być prawdziwe przy fałszywym zdaniu \(q\): \((x>0) \wedge (y>0)\) (wtedy, gdy obie liczby są ujemne).

Jak widać prawdziwość zdań matematyki zależy od ich budowy i od znaczenia spójników w nich zawartych.

Tautologie

Szczególną rolę z matematyce pełnią takie wyrażenia, które są schematami wyłącznie prawdziwych zdań. Nazywa się je tautologiami lub prawami logiki. Przykładem tautologii jest schemat:
\[
\sim (p \wedge q) \leftrightarrow (\sim p \vee\sim q).
\]

Oznacza to, że niezależnie od tego jakie zdania podstawimy za litery \(p\) i \(q\) w tym schemacie, zawsze otrzymamy zdanie prawdziwe. Niech \(p\) oznacza zdanie ,,\(x=7\)” \(q\) natomiast zdanie ,,\(x = 2\)”. Wtedy zdanie to (które jest prawdziwe) mówi, że równoważne są stwierdzenia: ,,nieprawda, że \(x = 7\) oraz \(x = 2\)” oraz ,,\(x\neq 7\) lub \(x \neq2\)”. Prawdziwe będą również wszystkie inne zdania powstałe przez podstawienie za \(p\) i \(q\) w tym schemacie, na przykład gdy za \(p\) wstawimy zdanie ,,Jan jest mądry” a za \(q\) – ,,Jan jest bogaty”.

Innym przykładem tautologii jest schemat:
\[
\forall\ x\ A(x)\rightarrow \exists\ x\ A(x).
\]
Wiedząc, że powyższy schemat jest prawem logiki możemy stwierdzić, że prawdziwe jest zdanie ,,jeśli nie wszyscy uczniowie lubią matematykę, to istnieje uczeń, który nie lubi matematyki”. Powstaje ono bowiem przez podstawienie za \(A(x)\) własności ,,\(x\) jest uczniem, który lubi matematykę”. Oczywiście przez inne rozumienie własności \(A\) otrzymujemy kolejne zdania prawdziwe, a jest ich nieskończenie wiele! Tautologie mogą zatem służyć do rozstrzygania, czy zdania matematyki (i nie tylko!) są prawdziwe.

Przypisy

1. Liczby naturalne to liczby \(0, 1, 2,\dots\) wywodzące się (jak wskazuje ich nazwa) z ,,natury”, to znaczy z najstarszych potrzeb człowieka dotyczących liczenia – zliczania owiec, bydła lub wrogów. Niekiedy matematycy nie uznają zera za liczbę naturalną (ponieważ pojawiło się ono w historii liczenia znacznie później niż pozostałe liczby naturalne) a za najmniejszą liczbę naturalną uważają 1.
2. W literaturze można także spotkać się z innymi oznaczeniami, odpowiednio \(\bigwedge\) zamiast \(\forall\) oraz \(\bigvee\) zamiast \(\exists \).

---

Artykuł został sfinansowany dzięki wsparciu pozyskanemu przez Poznańską Fundację Matematyczną od Miasta Poznań na realizację projektu ,,Potęga matematyki''.

Zobacz następną część tego artykułu