Matematyka jest nauką ścisłą. Jak rozumieć to często słyszane stwierdzenie? Cechą charakterystyczną matematyki jest uznawanie faktów dotyczących badanych przez nią obiektów (takich jak liczby czy figury geometryczne) wyłącznie na podstawie dowodów. Nie wystarczy autorytet nauczyciela („tak właśnie jest!”) ani nawet powszechna opinia („wszyscy tak mówią!”).
Dowód to ścisłe, przebiegające zgodnie z ustalonymi regułami uzasadnienie danego stwierdzenia. Dopiero po przedstawieniu poprawnego dowodu matematycy nazywają zdania, opisujące pewne własności obiektów, twierdzeniami. Zatem twierdzenie to takie zdanie danej teorii matematycznej, które posiada dowód.
W matematyce istnieje wiele metod dowodzenia. Jedną z nich jest dowodzenie „wprost”. Dowód wprost to ciąg formuł (zdań) danej teorii, kończący się zdaniem, którego dowodzimy. Kolejne formuły w dowodzie albo wynikają logicznie w poprzednich, albo też są aksjomatami, to znaczy takimi zdaniami, które w danej teorii przyjmuje się za oczywiste (niewymagające dowodu). Jednak najprostsze dowody, z którymi stykamy się w szkole, nie wymagają zwykle używania aksjomatów.
Przyjrzyjmy się dla przykładu dowodowi metodą wprost następującej własności liczb.
Twierdzenie 1. Liczba \(6^{100} – 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}\) jest podzielna przez 17.
Jest ono implikacją1, to znaczy ma postać:
Jeżeli (…założenie…), to (…teza…).
Można je bowiem zapisać jako:
Jeżeli liczba ma postać \(6^{100} – 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}\), to jest ona podzielna przez 17.
W dowodach wprost zaczynamy od założeń a kończymy na tezie. Każdy krok (kolejna formuła) musi wynikać logicznie z poprzedniej. W naszym przykładzie dowód wygląda następująco:
| opis | działania |
|---|---|
| założenie: | \(6^{100}-2\cdot 6^{99}+10\cdot 6^{98} =\) |
| wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: | \(6^{98} (6^2-2\cdot 6^1 + 10) =\) |
| obliczamy wartość wyrażenia w nawiasie: | \(6^{98} (36-12+10) = 698\cdot 34=\) |
| rozpisujemy 34 jako iloczyn \(17\cdot 2\): | \(6^{98} \cdot 2\cdot 17\) |
Liczba, którą można zapisać w postaci \(6^{98}\cdot 2\cdot 17\) jest podzielna przez 17, ponieważ jest wielokrotnością tej liczby. Otrzymaliśmy tezę, a więc dowód został zakończony, skąd zdanie: „Liczba \(6^{100} – 2\cdot 6^{99} + 10\cdot 6^{98}\) jest podzielna przez 17” jest twierdzeniem matematyki (a dokładniej, teorii liczb).
Inną metodą dowodzenia twierdzeń matematycznych jest, pochodząca ze starożytnej Grecji, metoda „nie wprost”.
Dowód nie wprost rozpoczynamy od przypuszczenia, że dowodzone twierdzenie jest fałszywe i udowodnieniu, że przypuszczenie takie prowadzi do sprzeczności. Przyjrzyjmy się na początek dowodowi nie wprost niewymierności pierwiastka z dwóch, to znaczy uzasadnieniu tezy:
Twierdzenie 2. Liczba \(\sqrt{2}\) jest liczbą niewymierną.
Dowód (nie wprost):
Przypuśćmy, że teza jest fałszywa, to znaczy, że liczba \(\sqrt{2}\) jest wymierna.
Każdą liczbę wymierną można (z definicji) zapisać w postaci odpowiedniego ilorazu dwóch liczb całkowitych, to znaczy w postaci ułamka nieskracalnego \(\frac p q\), gdzie \(q{\neq}0\). Zatem \(\sqrt 2=\frac p q\), \(q{\neq}0\). Wtedy \(2=\frac{p^2}{q^2}\). Po pomnożeniu oby stron powyższej równości przez \(q^2\) otrzymujemy z kolei:
\begin{equation}\label{ast}
2q^2=p^2
\end{equation}
Z powyższej równości wynika, że \(p^2\) jest liczbą parzystą, a tym samym \(p\) również jest liczbą parzystą. Liczbę \(p\), można więc zapisać w postaci iloczynu: \(2k\), dla pewnej liczby całkowitej \(k\). Wtedy
\begin{equation*}
p^2=4k^2.
\end{equation*}
Po wstawieniu powyżej zależności do równania \eqref{ast} dostajemy:
\begin{equation*}
2q^2=4k^2.
\end{equation*}
Dzieląc obie strony równości przez 2 otrzymujemy:
\begin{equation*}
q^2=2k^2.
\end{equation*}
Z tego wynika, że liczba \(q^2\) jest parzysta, a więc również \(q\) jest liczbą parzystą.
Tak więc obie liczby: \(p\) oraz \(q\), są parzyste. Przeczy to założeniu, że iloraz \(\frac p q\), jest ułamkiem nieskracalnym, ponieważ obie liczby parzyste można podzielić przez 2 i tym samym skrócić ten ułamek! Otrzymaliśmy sprzeczność. To oznacza, że nasze początkowe przypuszczenie jest fałszywe, a \(\sqrt{2}\) jest liczbą niewymierną.
Poprawność zastosowanej w powyższym dowodzie metody wynika z tautologii nazywanej prawem Claviusa: \((\sim p→ p)\to p\). Prawo to stwierdza, że jeśli zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe.
Przyjrzyjmy się jeszcze jednemu twierdzeniu dotyczącemu liczb całkowitych, które ma postać implikacji, to znaczy zdania: „jeżeli (…założenie…), to (…teza…)”. Dowód nie wprost w takich przypadkach rozpoczyna się od przyjęcia (za prawdziwe) założenia i zaprzeczeniu tezie (uznaniu jej za fałszywą) oraz doprowadzeniu do sprzeczności.
Twierdzenie 3. Jeżeli x = 3, to \(x^2=9\).
Dowód (nie wprost):
Przyjmujemy, że założenie jest prawdziwe, to znaczy, że \(x = 3\). Przypuśćmy również, że teza jest fałszywa:
\begin{equation*}
x^2\neq 9.
\end{equation*}
Wtedy
\begin{equation}\label{astast}
x\neq 3\quad \text{oraz}\quad x\neq-3.
\end{equation}
Otrzymujemy w ten sposób zdanie \eqref{astast} sprzeczne z założeniem, że \(x=3\).
Ponieważ przypuszczenie o fałszywości tezy doprowadziło nas do sprzeczności, to przypuszczenie to nie jest prawdziwe. Tym samym, zgodnie z zasadą dowodzenia nie wprost, twierdzenie „jeżeli \(x=3\), to \(x^2=9\)” jest prawdziwe.
Powyższy dowód przebiega według schematu: przyjmujemy, że założenie \(p\) jest prawdziwe i jednocześnie teza \(q\) jest fałszywa, co prowadzi do sprzeczności. Zatem prawdziwa jest implikacja \(p\to q\). Poprawność tej metody opiera się na tautologii:
\begin{equation*}
[(p \vee \sim q)\to 0]\to (p \to q).
\end{equation*}
Przypisy
- Pojęcie implikacji oraz inne potrzebne do zrozumienia tego artykułu pojęcia (w tym pojęcie tautologii) zostały wyjaśnione w artykule Język matematyki.
Artykuł został sfinansowany dzięki wsparciu pozyskanemu przez Poznańską Fundację Matematyczną od Miasta Poznań na realizację projektu ,,Potęga matematyki''.