Poniższy artykuł ma na celu krótkie wprowadzenie do tematyki ciał wirtualnych, które są klasami abstrakcji pewnej relacji określonej na przestrzeni składającej się z par podzbiorów wypukłych, domkniętych, ograniczonych i niepustych przestrzeni współrzędnych rzeczywistych. Czytelniku! Nie obawiaj się, wycieczka ta nie będzie tak straszna, jak mógłbyś przypuszczać po przeczytaniu pierwszego zdania. Jeżeli powiem, że zajmować się będziemy wielokątami, to z pewnością zabrzmi to dużo przyjaźniej, nieprawdaż? Zatem przygotuj potrzebny prowiant i zapas wody, a ja obiecuję przyjemną i ciekawą podróż.
Naszą wycieczkę zaczynamy od \(2+2\), czyli dodawania liczb naturalnych. Jest ono — zgodnie z nazwą — najbardziej naturalnym działaniem, którego uczymy się już na samym początku naszej przygody z matematyką. Każdą z liczb naturalnych możemy zamienić na odpowiednio wiele obiektów (utożsamiając liczbę z licznością), a wynikiem dodawania tych liczb będzie wspólna liczebność wszystkich obiektów. Weźmy na przykład \(3 + 5\). Możemy to rozumieć jako standardowe zadanie ze szkoły podstawowej w stylu: ,,Jaś ma 3 jabłka, Małgosia ma 5 jabłek, ile jabłek mają razem?” Oczywiście, gdy najpierw wspomnimy ile jabłek ma Małgosia, a dopiero potem ile jabłek ma Jaś, to razem będą mieli tyle samo, ale adekwatnym zapisem liczbowym tej sytuacji będzie \(5 + 3\).
Dodawanie liczb naturalnych możemy wizualnie przedstawić także w inny sposób, rzec by można — bardziej profesjonalnie. Weźmy więc oś liczbową, zaznaczmy na niej zero i jeden. Następnie taką samą odległość, jak zaznaczyliśmy od zera do jedynki, odkładamy w tę samą stronę, jednak nie od zera, a od jedynki — w ten sposób zaznaczymy dwójkę. Postępując tak dalej jesteśmy w stanie wskazać każdą liczbę naturalną. Jeżeli teraz wybraną liczbę utożsamimy z odcinkiem łączącym ten punkt na osi liczbowej z zerem, to możemy odpowiednio przedstawić dodawanie liczb naturalnych, jako przesunięcie jednego z odcinków tak, aby jego lewy koniec pokrywał się z prawym końcem drugiego. Wynikiem takiego dodawania będzie prawy koniec otrzymanego w ten sposób odcinka. Widać to doskonale na poniższym przykładzie. Działanie \(3 + 5\) jest przesunięciem odcinka \([0,5]\), na koniec odcinka \([0,3]\). Otrzymamy w ten sposób odcinek \([0,3+5]\), a więc rzeczywiście prawy koniec jest sumą tych dwóch liczb.
Podobnie jak działanie dodawania określone na liczbach naturalnych, tak samo na liczbach całkowitych — dodawanie możemy traktować jako przesunięcie odpowiednich odcinków na osi liczbowej. Tym razem jednak należy zwrócić szczególną uwagę na odpowiednie położenie tych odcinków względem siebie, gdyż dopuszczamy teraz również wartości ujemne. Spójrzmy na przykład.
Skoro jesteśmy na wycieczce, to przydałaby się jakaś mapa. Gdy weźmiemy takową do ręki — niech to będzie na przykład mapa fizyczna Polski — wówczas zauważymy pewną siatkę nałożoną na mapę, która pozwala za pomocą dwóch liczb określić dokładnie, o którym miejscu w Polsce wspominamy. Jest to tzw. siatka współrzędnych geograficznych. W podobny sposób możemy mówić o parach liczb całkowitych.
Stwórzmy kartezjański układ współrzędnych ustawiając prostopadle do siebie dwie osi liczbowe tak, aby przecinały się w zerze na obu osiach. Wówczas, rysując proste równoległe do osi tak, aby przecinały one drugą z osi (nie tę równoległą) w wartościach całkowitych uzyskamy podobną siatkę jak na mapie. Przecięcia tak stworzonych linii utożsamiać możemy z parami liczb całkowitych. Załóżmy, że przy zapisie \((a,b)\) wartość \(a\) odpowiada liczbie całkowitej z poziomej osi, natomiast wartość \(b\) odpowiada liczbie całkowitej z pionowej osi. Wówczas para \((a,b)\) odpowiada punktowi, który jest przecięciem wyżej wspomnianych prostych przechodzących przez liczby \(a\) i \(b\). Poniżej widzimy w jaki sposób powstaje taka siatka.
Oczywiście, pary liczb całkowitych możemy sumować dodając ,,po współrzędnych”, tzn. \((a,b) + (c,d)= (a+c,b+d)\). Możemy jednak robić to także traktując pary liczb całkowitych jako punkty na płaszczyźnie. Wówczas dodanie dwóch takich punktów możemy utożsamiać z dodawaniem odpowiednich wektorów zaczepionych w punkcie \((0,0)\), a kończących się w punktach będącymi składnikami sumy. Dodanie tych wektorów przebiega analogicznie jak w przypadku dodawania odcinków w poprzednich sytuacjach — początek jednego z wektorów przesuwamy na koniec drugiego. Wówczas koniec tego przesuwanego odpowiada wartości sumy. Jako przykład dodajmy do siebie \((3,1) + (1,1)\).
W tym momencie moglibyśmy podążyć dalej, zastanawiając się nad dodawaniem par liczb wymiernych czy rzeczywistych. Sądzę, że takie przeformułowanie powyższych rozumowań jest warte polecenia, jeżeli rozważamy samodzielne wędrówki. Pamiętajmy, że powyżej przytoczony przykład jest pewnym szczególnym przypadkiem dodawania par liczb wymiernych czy rzeczywistych, prawdą bowiem jest, że liczby całkowite są zarówno wymierne, jak i rzeczywiste. Jednak czymże byłaby dobra wycieczka, jeżeli przeszlibyśmy tylko po trasie, którą wskazuje wiele poradników turystycznych (tzn. podręczników)? Spróbujmy zejść z tej szeroko poznanej trasy i wyruszmy w obszary, które być może są niektórym znane, ale zapewne większość podróżników w pewnym momencie skręciła w inne rejony matematyki.
Załóżmy, że zamiast dodawać do siebie pary liczb całkowitych dodajemy zbiory jednoelementowe składające się z par liczb całkowitych. Czyli zamiast patrzeć na element \((a,b)\) jak zwykle (czyli jak na punkt w układzie współrzędnych), spójrzmy na niego jak na zbiór \(\{(a,b)\}\), którego jedynym elementem jest punkt \((a,b)\). Chcielibyśmy, aby dodawanie dwóch takich elementów w wyniku również dawało nam zbiór jednoelementowy, lecz składający się z pary liczb całkowitych, która będzie sumą wcześniej wspomnianych par. Jeżeli oznaczymy to działanie jako \(+\), to oczekujemy by \(\{(a,b)\} + \{(c,d)\} = \{(a+c,b+d)\}\). Oczywiście suma mnogościowa \(A \cup B\) nie spełnia naszych wymagań, bo \(\left\{(a,b)\right\} \cup \left\{(c,d)\right\} = \left\{(a,b),(c,d)\right\} \neq \left\{(a+c,b+d) \right\}\), gdy \((a,b) \neq (c,d) \neq (0,0) \).
Wydawać by się mogło, że troszkę pobłądziliśmy i nie wiemy, w którą stronę należy teraz pójść. Spójrzmy zatem na drogowskaz, na nim bowiem spisana jest pewna definicja: Niech \(X\) będzie przestrzenią liniową nad \(\mathbb{R}\) oraz \(A,B \subset X\). Wówczas działanie dodawania Minkowskiego definiujemy wzorem
\[
A + B = \{ a+b : a \in A,b \in B \}.
\]
Często bywa tak, że drogowskazy są niezbyt jasne, jeżeli nie wiemy dokładnie dokąd zmierzamy. Pozwólcie, że — wiedząc dokąd zmierza trasa — objaśnię ten powyższy. Pierwsze zdanie definicji potraktujmy dla naszych celów jako: Niech dana będzie przestrzeń \(\mathbb{R}^2\), czyli płaszczyzna, a także dwa podzbiory tej płaszczyzny. Drugie zdanie wydaje się być jasne, może tylko słownie opiszę wzór: Sumą Minkowskiego dwóch zbiorów nazywamy zbiór złożony z sum dwóch elementów, takich że pierwszy składnik sumy pochodzi z jednego zbioru, a drugi składnik sumy pochodzi z drugiego zbioru. Możemy na to spojrzeć jak na wymnażanie nawiasów zawierających sumy — musimy dokonać działania ,,każdy z każdym”. Jednakże w tym wypadku bierzemy zamiast nawiasów zbiory, a zamiast mnożenia elementów dodajemy je do siebie. Gdy wiemy już czym jest dodawanie Minkowskiego, sprawdźmy czy spełnia nasze wymagania wobec działania na zbiorach. Rozpatrzmy przykład, który jest przeformułowaniem rozpatrywanych już punktów. Niech \(A = \{(3,1)\},B = \{(1,1)\}\). Stosując definicję mamy \(A+B = \{ (3,1)+ (1,1)\}= \{(4,2)\}\). Zatem otrzymaliśmy oczekiwany wynik. Zauważmy, że żaden dodatkowy element nie może powstać, ponieważ nie ma więcej elementów w zbiorach \(A\) i \(B\). Spójrzmy poniżej i zauważmy, że poza nazwami zbiorów działanie to nie różni się od zwykłego dodawania par liczb całkowitych.
Mamy więc działanie, które możemy rozpatrywać jako uogólnienie zwykłego dodawania par liczb całkowitych. Zaobserwujmy, jak będzie zachowywać się suma Minkowskiego, gdy składnikami nie będą wyłącznie zbiory jednoelementowe. Jednak zanim to uczynimy, zauważmy, że możemy traktować \(A + B\), jako przesunięcie zbioru \(A\) o wektor utożsamiany z parą liczb całkowitych \((1,1)\) i analogicznie jako przesunięcie zbioru \(B\) o wektor utożsamiany z parą liczb całkowitych \((3,1)\). Możemy zatem wyciągnąć pewien wniosek, który jest pierwszą własnością przedstawionego działania.
Jeżeli jeden z elementów sumy Minkowskiego jest zbiorem jednoelementowym, to \(A + B\) możemy obliczyć przesuwając o wektor utożsamiany z elementem zbioru jednoelementowego drugi zbiór.
\(A + \{(a,b)\} \) jest zbiorem \(A\) przesuniętym o wektor \([(0,0),(a,b)]\)
Powracając do wspomnianej idei — należałoby rozszerzyć jeden ze zbiorów do przynajmniej dwóch elementów. Niech zatem zbiór \(A\) jest zbiorem składającym się z dwóch elementów, a zbiór \(B\) zbiorem jednoelementowym. Korzystając z pierwszej własności możemy utożsamić \(A+B\) z przesunięciem zbioru \(A\) o wektor odpowiadający elementowi ze zbioru \(B\). Jednak popatrzmy na zbiór dwuelementowy jako zbiór, który posiada dwa wektory. Zatem chcąc dodać taki zbiór powinniśmy postępować następująco: wziąć drugi zbiór, najpierw przesunąć go o jeden z wektorów odpowiadający pierwszemu elementowi ze zbioru dwuelementowego, a następnie o drugi wektor. Jako sumę Minkowskiego rozpatrzyć sumę mnogościową tak powstałych zbiorów. Obie powyższe sytuacje możemy zobaczyć poniżej.
Co zrobić, gdy oba zbiory — zarówno \(A\), jak i \(B\) — będą zbiorami składającymi się z dwóch elementów? Cały czas postępujemy analogicznie. Bierzemy jeden ze zbiorów, przesuwamy wszystkie jego elementy o każdy (odpowiadający jednemu elementowi) wektor ze zbioru drugiego. Wszystkie w ten sposób wygenerowane punkty będą elementami sumy Minkowskiego tych zbiorów. Przyjrzyjmy się jeszcze temu przykładowi, a następnie spróbujmy sformułować ogólny wniosek.
Jeżeli zatem \(A\) i \(B\) są zbiorami składającymi się ze skończonej liczby elementów, to schematem postępowania jest przesunięcie drugiego zbioru o wszystkie wektory odpowiadające elementom z pierwszego zbioru, a następnie skorzystanie z sumy mnogościowej, aby uzyskać ostateczny wynik. Możemy zapisać to wzorem następująco:
\[
A+B = \bigcup_{b \in B} A + \{b\}
\]
Pozostaje więc zastanowić się, co stanie się, gdy zbiory będą nieskończone. Będąc precyzyjnym należy powiedzieć, że dążymy do zbiorów wypukłych, zatem będziemy mówić o zbiorach nieskończonych, mając na myśli zbiory nieprzeliczalne. Na ten moment wystarczy nam wiedza, że przykładem zbioru nieprzeliczalnego jest odcinek na płaszczyźnie. Zatem każdy zbiór zawierający jakiś odcinek będzie odpowiedni w dalszych rozważaniach.
Oczywiście, kiedy zbiór \(A\) jest zbiorem nieskończonym, natomiast zbiór \(B\) jest zbiorem jednoelementowym, wówczas chcąc obliczyć sumę \(A+B\) z definicji otrzymamy zbiór złożony z nieskończonej liczby sum. Jest tak, gdyż każdy element z nieskończonego zbioru \(A\) należy zsumować z elementem z \(B\). Oczywiście liczenie wszystkich sum jest nieefektywne, bo nie mamy nieskończenie wiele czasu, zatem powinniśmy znaleźć sposób, aby uzyskać odpowiedni wynik w skończonej liczbie kroków. W tym celu warto poznać takie pojęcia jak zbiór wypukły, powłoka wypukła, czy też punkty ekstremalne. Jednak wrócimy do tego za chwilę, ponieważ problem dodawania zbioru nieskończonego i jednoelementowego staje się łatwy do rozwiązania, gdy skorzystamy z własności przesunięcia zbioru, gdy dodajemy do niego zbiór jednoelementowy. Wówczas fakt, że zbiór \(A\) jest nieskończony nie wpływa na nasz sposób postępowania. Przyjrzyjmy na przykładowi, gdzie nieskończonym zbiorem \(A\) będzie odcinek \([(0,0),(0,1)]\), a zbiorem jednoelementowym \(B\) jest \(\{(1,0)\}\).
Zatem znamy już jeden ze sposobów obliczenia sumy zbioru nieskończonego i jednoelementowego. Przygotujmy się do poznania innego. Wyposażmy się teraz w odpowiedni ekwipunek, aby ruszyć w dalszą trasę. Na początek wiedza teoretyczna zebrana w jednym miejscu, potem omówimy sobie poszczególne pojęcia.
Zbiór \(A\) nazywamy zbiorem wypukłym, jeżeli spełniony jest warunek
\[
\text{dla każdego } \alpha \in [0,1]\text{ } \alpha A + (1- \alpha) A = A
\]
Równoważnie, jeżeli dla dowolnych \(a,b \in A\) odcinek \([a,b] = \{ \alpha a + (1 – \alpha) b : {\alpha \in [0,1]} \}\) jest zawarty w zbiorze \(A\).
Powłoką wypukłą zbioru \(A\) nazywamy zbiór
\begin{align*}
\text{conv}{(A)} &= \{ x : x = \alpha_{1} a_{1}+\dots+\alpha_n a_n,\\
&\qquad\alpha_1,\dots,\alpha_n\geq 0,\\
&\qquad a_{1},\dots,a_n \in A,\\
&\qquad \alpha_{1}+\dots+\alpha_n = 1,\text{ } n \in \mathbb{N}\}.
\end{align*}
Niech \(B \subset A\). Podzbiór ten nazywamy ekstremalnym, jeżeli z warunku, że dla dowolnego \(a,b\in A\) i pewnego \(t\in (0,1)\) zachodzi \(ta+(1-t)b \in B\) wynika fakt, że \(a,b \in B\). Jeżeli \(\{x \}\) jest podzbiorem ekstremalnym dla pewnego \(x \in A\), to punkt \(x\) nazywamy punktem ekstremalnym zbioru \(A\). Zdefiniujmy zbiór \(\text{ext}(A) = \{ a \in A: a \text{ jest punktem ekstremalnym zbioru } A\}\). Nazywać go będziemy zbiorem punktów ekstremalnych zbioru \(A\).
Wygląda to wszystko dość groźnie, ale już przechodzimy do naszej płaszczyzny i na przykładach oglądamy czym są nasze nowo poznane pojęcia. Zbiór \(A\) jest wypukły, gdy dla dowolnych elementów, które do niego należą, należy do niego także odcinek je łączący. W ten sposób nie będzie problemu zauważyć, które z poniższych zbiorów są wypukłe i dlaczego pozostałe takie nie są.
Gdy już ustaliliśmy, jak stwierdzać które zbiory nie są wypukłe, chcielibyśmy powiedzieć, w jaki sposób zbiór można ,,uwypuklić”. Oczywiście na wstępie warto powiedzieć, że powłoka zbioru wypukłego to po prostu ten zbiór. Czy można łatwo porównać do czegoś powłokę wypukłą? Tak, powłokę wypukłą najlepiej porównać do opakowania prezentu. Zatem, gdy zbiór jest wypukły, to gdy opakujemy go papierem prezentowym będzie on przylegał dokładnie do naszego zbioru/prezentu. Spójrzmy poniżej jak można opakować zbiory, które nie były wypukłe w poprzednim przykładzie.
Skoro już na początku podróży wspomniałem, że zajmować będziemy się wielokątami, to powiem teraz tylko tyle, że punkty ekstremalne wielokątów to ich wierzchołki. Myślę, że nikt nie ma problemu ze wskazaniem wierzchołków w przedstawionych poniżej wielokątach. Warto jedynie odnotować, że odcinek dla nas także będzie wielokątem, a jego wierzchołkami będą jego końce. Natomiast pojedynczy punkt jest sam swoim punktem ekstremalnym.
Mamy już wszystko co jest nam potrzebne, w związku z czym wyruszamy dalej w trasę. Powróćmy do naszego zagadnienia. Zbiór \(A\) jest nieskończony, a zbiór \(B\) jest jednoelementowy. Możemy użyć pewnej własności sumy Minkowskiego dotyczącej wielokątów (ogólnie zbiorów wypukłych, domkniętych, ograniczonych i zwartych):
\[
A + B = \text{conv} ( \text{ext}(A)+ \text{ext}(B)).
\]
Jak ten wzór opisać słownie? Chcąc zsumować zbiory \(A\) i \(B\) możemy najpierw zamiast całych zbiorów wziąć tylko ich punkty ekstremalne (pamiętamy, że są to wierzchołki dla wielokątów). Następnie musimy zsumować je, a ponieważ umiemy dodawać do siebie zbiory złożone z punktów nie będzie to dla nas stanowiło problemu. A potem pozostaje już opakować nasz prezent, czyli zrobić z tych punktów powłokę wypukłą. Aby dobrze zobrazować powyższy wzór na przykładzie, niech \(A = [(0,0),(0,1)], B = \{ (1,0)\}\). Wówczas jeżeli \(A\) jest odcinkiem, a \(B\) punktem, to \(\text{ext}(A)\) jest zbiorem dwuelementowym, do którego dodajemy zbiór jednoelementowy. Otrzymaną w ten sposób sumę uwypuklamy uzyskując sumę, którą pierwotnie chcieliśmy obliczyć.
Przejdźmy do wydaje się najtrudniejszego przypadku. Niech zbiory \(A\) i \(B\) będą zbiorami nieskończonymi. Wiemy już, że możemy uzyskać ich sumę wykorzystując zbiory ekstremalne, zsumować je, a następnie je uwypuklić. Zastanówmy się jednak, co uzyskalibyśmy (skoro znajdujemy się na płaszczyźnie), gdybyśmy chcieli skorzystać w tym przypadku z własności przesuwania zbioru. Czy musielibyśmy rozpatrywać każdy punkt ze zbioru nieskończonego, czy moglibyśmy wyciągnąć pewne wnioski z użycia tylko niektórych punktów? Niech zbiorami \(A\) i \(B\) są prostopadłe odcinki o długości jeden, mające jeden punkt wspólny — środek układu współrzędnych. Wówczas przesuwamy jeden z odcinków o wektory odpowiadające każdemu z punktów z drugiego odcinka. Lecz rysując kolejne takie przesunięcia zauważyć możemy, że tak właściwie takie dodawanie odcinków utożsamiane jest z przesunięciem jednego odcinka po drugim.
Jednak w powyższym przykładzie ukryta jest pewna bardzo ważna informacja, która być może nie jest widoczna na pierwszy rzut oka. Punkt \((0,0)\) należy do obu zbiorów \(A\) i \(B\). Jeżeli \(A\) i \(B\) są zbiorami, które nie zawierają punktu \((0,0)\), to ich dodawanie do siebie również jest pewnym przesuwaniem, lecz nie jednego odcinka po drugim. Ponieważ przy każdym dodawaniu należy przesuwać o odpowiednie wektory, które w tym przypadku odsuwają sumę od składników, musimy zrobić to inaczej. Jeżeli jednak rozpatrzymy na moment zbiór \(A\) jako zbiór \(A\) z dodanym punktem \((0,0)\), wówczas możemy cały ten zbiór przesuwać (zachowując odpowiednie odległości między \((0,0)\) a zbiorem \(A\)) po zbiorze \(B\), ,,chwytając” za punkt \((0,0)\) i to właśnie nim przesuwać się po zbiorze \(B\). Wówczas ślad jaki zakreśli zbiór \(A\) jest sumą \(A+B\). Spójrzmy jak należy postępować na przykładzie, jednak jak dowiemy się później — ten sposób z praktycznego punktu widzenia stanie się mało użyteczny, lecz warto o jego istnieniu pamiętać.
Zanim przejdziemy do własności sumy Minkowskiego podsumujmy jakie omówiliśmy dwie najprostsze metody (poza definicją) na obliczanie sumy Minkowskiego dwóch zbiorów.
- Możemy zastosować wzór \(A + B = \text{conv} ( \text{ext}(A)+ \text{ext}(B))\), co w przypadku wielokątów sprawi, że dodawać będziemy dwa skończone zbiory punktów, co umiemy wykonać poprzez odpowiednie przesuwanie jednego ze zbiorów o wektory odpowiadające elementom drugiego zbioru.
- Możemy odpowiednio ,,chwycić” jeden ze zbiorów w punkcie \((0,0)\) (nawet, gdy nie należy on do zbioru) i przesunąć go w każdy punkt drugiego zbioru. Ślad zakreślony przez pierwszy zbiór jest sumą obu zbiorów.
Druga z metod byłaby użyteczniejsza, gdybyśmy mogli ,,chwycić” jeden ze zbiorów w dowolnym jego punkcie. Zajmiemy się tym zagadnieniem, jednak wcześniej przypomnijmy poznane już nieoczywiste własności sumy Minkowskiego, gdy \(A\) i \(B\) są wielokątami (ogólniej wypukłe, domknięte, ograniczone i zwarte podzbiory płaszczyzny):
- \(A + \{a\}\) jest zbiorem \(A\) przesuniętym o wektor odpowiadający \(a\)
- \(A + B = conv(ext(A) + ext(B))\)
Zauważyć powinniśmy, że suma Minkowskiego dla dowolnego zbioru i zbioru jednoelementowego to nic innego, jak translacja tego zbioru o odpowiedni wektor. Jeżeli więc dodajemy zbiór jednoelementowy, który zawiera tylko element neutralny dla zwykłego dodawania elementów, wówczas taki zbiór jest także elementem neutralnym dla dodawania Minkowskiego. W naszym przypadku będzie to dodawanie zbioru \(\{(0,0)\}\). Zatem dwa zbiory jednoelementowe, których suma Minkowskiego jest elementem neutralnym mogą być dodawane w dowolnym momencie do każdej sumy. Zauważmy, że gdy oznaczymy te zbiory jako \(A_1\) i \(A_{-1}\), to dla nas jest to warunek \(A_1 + A_{-1} = \{(0,0)\}\). Ponadto możemy zapisać \(A + B = A + B + A_1+ A_{-1}= A + A_1+ B + A_{-1}= ((A + A_1 )+ B )+ A_{-1}\), ponieważ suma Minkowskiego jest przemienna i łączna. Oznacza to, że jeden ze składników sumy możemy dowolnie przesunąć, o ile obliczoną sumę również przesuniemy, ale o wektor przeciwny. Pozwala nam to na stwierdzenie, że dla dodawania Minkowskiego położenie składników nie jest rzeczą, która wpływa na kształt sumy. Możemy zatem przesunąć jeden ze zbiorów tak, aby zawierał punkt \((0,0)\), jeżeli sumę przesuniemy o wektor przeciwny. Rozwiązaliśmy zatem problem ,,chwytania” zbioru w punkcie \((0,0)\). Spójrzmy jak to działa na przykładzie.
Przejdźmy do kolejnej własności, a zarazem metody obliczania sumy Minkowskiego. Dowiedzieliśmy się już, że suma Minkowskiego i suma mnogościowa tych samych zbiorów różnią się między sobą. Jeżeli przyjrzymy się dokładnie poniższym przykładom, to zauważymy, że istnieje pewna zależność między sumą Minkowskiego, a sumą mnogościową, którą (o ile \(A \cup B, A \cap B, A\) i \(B\) są zbiorami wypukłymi) możemy zapisać następująco:
\[
A \cup B + A \cap B = A + B.
\]
Przypomnijmy jednak, jaki jest cel naszej wycieczki — ciała wirtualne. Należałoby zatem wkroczyć na ścieżkę, która doprowadzi nas do nich. Przygotujmy się do tej wyprawy należycie wyposażając się w odpowiednie oznaczenia.
Definiujemy następujące rodziny zbiorów
\begin{align*}
B(X) &= \{ A \subset X : A – \text{ wypukły, domknięty, ograniczony,
niepusty }\}\\
K(X) &= \{ A \in B(X) : A – \text{ zwarty }\}.
\end{align*}
W naszym przypadku \(B(\mathbb{R}^2) = K(\mathbb{R}^2)\). W tej rodzinie nie musimy ograniczać się do wielokątów, co pokazuje rysunek poniżej.
Przykładowe elementy \(K(\mathbb{R}^2)=B(\mathbb{R}^2)\)
Niech \(A \subset X\), jeżeli zbiór \(A = conv(\{ x_1,\dotsc,x_n \})\) dla pewnych \(x_1,\dotsc,x_n \in X\), to zbiór \(A\) nazywamy wielościanem wypukłym.
Definiujemy następującą rodzinę zbiorów
\[
P(\mathbb{R}^n) = \{ A \in K(\mathbb{R}^n) : A – \text{ wielościan
wypukły }\}.
\]
Dla nas interesująca jest rodzina \(P(\mathbb{R}^2)\), są to bowiem wielokąty. Zauważmy, że \(x_1,\dotsc,x_n \in X\) w definicji wielościanu wypukłego, to dla nas tak naprawdę wierzchołki wielokąta.
Nie bez powodu na wstępie zaczynaliśmy od liczb całkowitych, a później przechodziliśmy do par liczb całkowitych. Teraz będziemy chcieli wykonać podobny manewr przy użyciu zbiorów z \(B(\mathbb{R}^n)\). Czyli rozpatrywać będziemy pary zbiorów postaci \((A,B)\), gdzie \(A,B \in B(\mathbb{R}^n)\).
Mając tak przygotowane pary zbiorów ustalmy, że \((A,B) \sim (C,D) \Leftrightarrow A+D = B+C\). Oznacza to, że zapisy te są równoważne. Jeżeli zapiszemy \((A,B) \sim (C,D)\) rozumiemy przez to, że \(A+D = B+C\). Okazuje się, że jeżeli weźmiemy jedną parę zbiorów \((A,B)\) i sprawdzimy, jakie inne pary \((A’,B’)\) spełniają \((A,B) \sim (A’,B’)\), to gdy weźmiemy parę \((A’,B’)\) i poszukamy par spełniających \((A’,B’) \sim (A”,B”)\), to dostaniemy dokładnie te same pary. Co więcej stanie się tak ze wszystkimi znalezionymi parami. Oznacza to, że możemy w ten sposób podzielić wszystkie możliwe pary zbiorów na pewne klasy. Możemy rozumieć to jak klasy w szkole. Jeżeli spytamy jednego ucznia z jakimi osobami jest w jednej klasie, a potem spytamy jakąkolwiek inną osobę z tej klasy, to wymienią one (poza sobą) te same osoby. Relacją pomiędzy uczniami jest na przykład bycie w jednej klasie i w naturalny sposób uczniów w szkole możemy podzielić na klasy. Tak samo możemy podzielić pary zbiorów na klasy. Jedną taką klasę zapisywać będziemy \([A,B]_{\sim}\), co oznacza, że jest to klasa, w której \((A,B)\) jest ,,uczniem”. Gdy pojawi się taki symbol rozumiemy go jako wszystkie te pary \((C,D)\), które spełniają \((A,B) \sim (C,D)\). Wracając do samej relacji \((A,B) \sim (C,D) \Leftrightarrow A+D = B+C\) zauważyć możemy pewną analogię relacji równości ułamków, bo przecież \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c\). Spójrzmy na przykładzie jak ,,działa” powyższa relacja.
Gdy droga stawała się coraz cięższa, gdy zaczynało brakować prowiantu, a i zapasy wody zaczynały się kończyć, wydawało się, że wyprawa musi skończyć się niepowodzeniem. Lecz choć nie było to oczywiste, to cel znajdował się tuż za rogiem. Taki tekst moglibyśmy usłyszeć z ust barda, który chciałby opisać naszą wycieczkę, bowiem mamy już wszystko co nam potrzebne, aby móc ją zakończyć sukcesem.
Element \([A,B]_{\sim}\) przestrzeni wektorowej \(B^2(\mathbb{R}^n)/_{\sim}\) nazywamy ciałem wirtualnym.
Element \([A,B]_{\sim}\) przestrzeni wektorowej \(P^2(\mathbb{R}^n)/_{\sim}\) nazywamy wielościanem wirtualnym. Czyli przekładając wzory na słowa: Wszystkie pary \((C,D)\), takie że \(C\) i \(D\) są zbiorami z \(B(\mathbb{R}^n)\) i spełnione jest \(A+D = B+C\) nazywamy ciałem wirtualnym, a jeżeli dodatkowo \(C\) i \(D\) są zbiorami z \(P(\mathbb{R}^n)\), czyli wielościanami wypukłymi, to wszystkie pary \((C,D)\) nazywamy wielościanem wirtualnym.
To już koniec wędrówki, mogę jedynie z tego miejsca polecić piękne ścieżki, których początek jest w miejscu, w którym stoimy. Warto wspomnieć, że ślady stóp kilkukrotnie przecinające trasę, ale biegnące w poprzek naszej drogi należały zapewne do Gerarda Debreu, który już kilkadziesiąt lat temu korzystał z niepustych, wypukłych, domkniętych i ograniczonych zbiorów w ekonomii, a w szczególności do badania relacji preferencji. Było to innowacyjne podejście, a osoby, którym nieobca jest lista zdobywców nagrody Nobla z pewnością kojarzą Debreu, między innymi z teorią ekonomii i wprowadzeniem tam nowych metod analizy. Kolejną ciekawostką jest fakt, że chociaż wydawało się, iż droga prowadząca do teorii punktu stałego jest bardzo odległa od ścieżek, którymi kroczyliśmy, to Ky Fan wskazał pewien szlak, którym również można udać się w samodzielną podróż. Nie mylą się także ci, którzy stawiając kolejne kroki odbiegali myślami od głównych atrakcji wycieczki i oczami wyobraźni widzieli kryształy, jako trójwymiarowe zbiory wypukłe. Co więcej, za sprawą Jerzego Grzybowskiego i Ryszarda Urbańskiego możemy z miejsca, w którym stoimy iść w kierunku teorii wzrostu kryształów. Oczywiście, można też bardziej szczegółowo zgłębić trasę, którą przebyliśmy. Jednak są to tematy na zupełnie inne historie.
Artykuł został sfinansowany dzięki wsparciu pozyskanemu przez Poznańską Fundację Matematyczną od Miasta Poznań na realizację projektu ,,Potęga matematyki''.