„Niech nikt nie wkracza tutaj, kto nie zna geometrii.”
NAPIS PRZY WEJŚCIU DO AKADEMII PLATOŃSKIEJ
O BRYŁACH PLATOŃSKICH
Poniżej przedstawimy rozumowanie, które pozwala wykazać, że istnieje tylko pięć brył foremnych, zwanych też platońskimi (Platon): czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. Dowód pochodzi z X księgi Euklidesa i jego autorem jest Pitagoras, jak i Teajtet.
Rozumowanie przedstawimy w kilku elementarnych krokach.
KĄTY W WIELOKĄCIE FOREMNYM
Rozważmy wielokąt foremny o n bokach, n≥3
Kąt α=2⋅γ, więc wzór na sumę kątów γ+γ+β=180∘ daje α+β=180∘. Zatem n⋅α+n⋅β=n⋅180∘. Wstawiając teraz n⋅β=360∘ i dzieląc obie strony równości przez n, dostajemy
α=180∘–360∘n dla każdego n≥3.
TWIERDZENIE PITAGORASA-TEAJTETA O BRYŁACH FOREMNYCH
Istnieje dokładnie pięć brył foremnych: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan.
DOWÓD PITAGORASA -TEAJTETA ZAPISANY W „ELEMENTACH” EUKLIDESA
Rozważmy bryłę foremną, której ściany są tym samym n-bokiem foremnym, a każdy wierzchołek utworzony jest przez k ścian dla n≥3 oraz k≥3. Niech α będzie kątem wewnętrznym zawartym pomiędzy sąsiednimi bokami w n-boku foremnym. Wobec tego α=180∘–360∘n, lecz k⋅α<360∘, więc α<120∘, bo k≥3.
Zatem 180∘–360∘n<120∘, co jest możliwe tylko dla n=3, 4, 5.
Skoro n=3, 4, lub 5, to ze wzorów
α=180∘–360∘n oraz k⋅α<360∘
wynika, że możliwe są następujące przypadki.
∙ Dla n=3: α=60∘, k=3, 4, 5.



∙ Dla n=4: α=90∘, k=3.
∙ Dla n=5: α=108∘, k=3.
Podsumowując (n,k)=(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3).