Processing math: 100%
Poznański Portal Matematyczny

O bryłach platońskich

Autor: Krzysztof Pawałowski

„Niech nikt nie wkracza tutaj, kto nie zna geometrii.”

NAPIS PRZY WEJŚCIU DO AKADEMII PLATOŃSKIEJ

O BRYŁACH PLATOŃSKICH

Poniżej przedstawimy rozumowanie, które pozwala wykazać, że istnieje tylko pięć brył foremnych, zwanych też platońskimi (Platon): czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. Dowód pochodzi z X księgi Euklidesa i jego autorem jest Pitagoras, jak i Teajtet.

Rozumowanie przedstawimy w kilku elementarnych krokach.

KĄTY W WIELOKĄCIE FOREMNYM

Rozważmy wielokąt foremny o n bokach, n3

KatWieloboku

Kąt α=2γ, więc wzór na sumę kątów γ+γ+β=180 daje α+β=180. Zatem nα+nβ=n180. Wstawiając teraz nβ=360 i dzieląc obie strony równości przez n, dostajemy
α=180360n  dla każdego  n3.

TWIERDZENIE PITAGORASA-TEAJTETA O BRYŁACH FOREMNYCH

Istnieje dokładnie pięć brył foremnych: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan.

Plato-4-kolorszescianPlato-8-kolorPlato-12-kolorPlato-20-kolor

DOWÓD PITAGORASA -TEAJTETA ZAPISANY W „ELEMENTACH” EUKLIDESA

Rozważmy bryłę foremną, której ściany są tym samym n-bokiem foremnym, a każdy wierzchołek utworzony jest przez k ścian dla n3 oraz k3. Niech α będzie kątem wewnętrznym zawartym pomiędzy sąsiednimi bokami w n-boku foremnym. Wobec tego α=180360n, lecz kα<360, więc α<120, bo k3.

Plato-12-kolor         Plato-12-Siatka

Zatem 180360n<120, co jest możliwe tylko dla n=3, 4, 5.

Skoro n=3, 4, lub 5, to ze wzorów
α=180360n   oraz  kα<360


wynika, że możliwe są następujące przypadki.
Dla n=3: α=60, k=3, 4, 5.  Plato-4-kolor Plato-8-kolor Plato-20-kolor

Dla n=4: α=90, k=3szescian

Dla n=5:  α=108,  k=3Plato-12-kolor

Podsumowując (n,k)=(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3). ◻

Do góry
Ta strona wykorzystuje pliki cookies

Ta strona wykorzystuje pliki cookies do zapewniania najwyższej wygody korzystania z serwisu. Te same pliki mogą być wykorzystywane przez współpracujące z nami firmy w celach badawczych. Jeśli wyrażasz zgodę na nasze działania, zamknij ten komunikat. Pamiętaj, że zawsze możesz wyłączyć obsługę plików cookies w swojej przeglądarce.

Zamknij