3 Część trzecia: dzielniki zera i brak jednoznaczności rozkładu

Przypomnijmy, że w pierwszej części przyglądaliśmy się równaniom wielomianowym w zbiorze liczb rzeczywistych, i próbowaliśmy zrozumieć, dlaczego szkolne sposoby ich rozwiązywania działają. W drugiej poznaliśmy inny niż standardowy sposób liczenia, czyli działania modulo $12$, i zobaczyliśmy rzecz w zbiorze liczb rzeczywistych niespotykaną: trójmian kwadratowy, który ma więcej niż dwa pierwiastki. Dzisiaj przyjrzymy się temu trójmianowi dokładniej.

Jak pamiętamy, „zwykłe” wielomiany (tj. te o współczynnikach rzeczywistych, ze „zwykłymi” działaniami arytmetycznymi) można było rozkładać na czynniki. Jest to operacja podobna do rozkładu na czynniki pierwsze liczby naturalnej, choć są też pewne drobne różnice. Po pierwsze, liczbę naturalną można rozłożyć na czynniki pierwsze tylko na jeden sposób; z wielomianami jest troszkę inaczej, na przykład $x^2-4x+3=(x-3)(x-1)=(\frac{1}{3}x-1)(3x-3)$. Widać, w czym rzecz, i widać, że nadal oba rozkłady (w pewnym sensie) „nie różnią się istotnie”, choć sprecyzowanie, co to znaczy różnić się „istotnie” wymaga pewnie chwili zastanowienia.

Po drugie, z rozkładem niektórych wielomianów jest kłopot innego rodzaju – tak jest na przykład z wielomianem $x^2-4x+5$. I z tym można sobie poradzić, na przykład umawiając się, że czasem w rozkładzie na czynniki pozostawimy nierozkładalne czynniki kwadratowe, albo wprowadzając jeszcze inny gatunek liczb, tzw. liczby zespolone – ale o tym może innym razem.

W naszym przypadku – wielomianów o współczynnikach w $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ – problem jest innego rodzaju. Jak wiadomo, w przypadku wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, postać iloczynowa wielomianu stopnia $n$ o pierwiastkach $x_1,\dots,x_n$ wygląda następująco: \[a(x-x_1)\dots(x-x_n),\] gdzie $a\ne 0$. Nie możemy jednak liczyć na to, że będzie tak i w $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$: gdybyśmy wymnożyli iloczyn $(x-1)(x-3)(x-7)(x-9)$, otrzymalibyśmy wielomian stopnia $4$ – nie o to nam chodzi!

Bliższe zbadanie sytuacji ujawnia dwie ciekawe własności systemu $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$. Po pierwsze, rozkład wielomianu na czynniki nie jest już jednoznaczny: jak łatwo sprawdzić, $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=(x-7)(x-9)$. (Zupełnie na marginesie zauważmy, że w systemie modulo $12$ zachodzi równość $-4=8$, więc nasz wielomian należałoby – formalnie rzecz biorąc – zapisać tak: $x^2+8x+3$.) Jest to sytuacja zupełnie inna od tej, do której jesteśmy przyzwyczajeni.

Najbardziej jednak zdumiewające zjawisko to istnienie tzw. dzielników zera. Zauważmy, że skoro np. liczba $7$ jest pierwiastkiem naszego wielomianu, zatem podstawiając $7$ za $x$ powinniśmy otrzymać $0$. Nie ma jednak znaczenia, w jakiej postaci wielomianu dokonamy tego podstawienia! Podstawmy zatem $x=7$ do wzoru $(x-1)(x-3)$. Otrzymamy wówczas równość $6\times 4=0$. (Rzeczywiście, „zwykłe” mnożenie $6\cdot 4$ daje wynik $24$, które dzieli się przez $12$ bez reszty, czyli z resztą zero.) Oznacza to, że jeden z podstawowych faktów, dzięki którym mogliśmy rozwiązywać równania w liczbach rzeczywistych, czyli to, że zerowanie się iloczynu oznacza, że zeruje się któryś z czynników, w systemie modulo $12$ nie jest prawdziwy! Oczywiście, mamy teraz inną metodę rozwiązywania równań – ponieważ wszystkich liczb jest teraz tylko dwanaście, czyli skończona liczba, możemy je rozwiązywać metodą prób i błędów (co nie znaczy, że jest to jedyna czy najlepsza metoda!).

W ten sposób nasza wycieczka w świat wielomianów o współczynnikach innych niż liczby rzeczywiste dobiegła końca. Nie jest to koniec całej historii: można badać, przy jakich wartościach $n$ występują dzielniki zera (spróbuj rozpisać tabliczkę mnożenia dla $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ itd. – czy domyślasz się, jaka jest ta prawidłowość?). Można badać wielomiany o współczynnikach z jeszcze innych zbiorów. Można badać funkcje wymierne, czyli ilorazy wielomianów. To wszystko jednak już inny temat.