1 Część pierwsza: jak rozwiązać równanie wielomianowe?

Równania wielomianowe (w matematyce wyższej zwane równaniami algebraicznymi, choć my pozostaniemy przy terminologii szkolnej) są standardowym tematem szkolnym (i bardzo wdzięcznym tematem zadań, nie tylko maturalnych). Jeżeli stopień równania nie jest zbyt wysoki (a tak zwykle dzieje się w szkole), jego rozwiązywanie jest raczej łatwe (choć żmudne), i nie będziemy tutaj odpowiadać na pytanie, jak to robić. Jeżeli stopień równania jest wysoki (a tak zwykle dzieje się w życiu), jego rozwiązywanie – w zależności od równania i użytej metody – waha się od „banalnego”, poprzez „trudne”, do „niewykonalnego”; również nie będziemy w tym artykule opowiadać, jak to zrobić.

Nie będziemy także teraz odpowiadać na pytanie, po co rozwiązywać równania wielomianowe – choć to znakomite pytanie, odpowiedź na które potrafi zresztą zaskoczyć.

Nie, dzisiaj skupimy się na innym, również ciekawym pytaniu: dlaczego metoda, którą poznaliśmy w szkole, działa.

Ponieważ równania wysokich stopni bywają nieco skomplikowane, a równania liniowe są zbyt proste, skupimy się na równaniu kwadratowym. Jest to co prawda drobne oszustwo, ponieważ równań kwadratowych nie rozwiązujemy w szkole tą samą metodą, co równania sześcienne czy wyższych stopni – ale to nie szkodzi, możemy wszak na chwilkę zapomnieć o wzorach na wyróżnik (zwany popularnie, choć nie do końca poprawnie „deltą”) i pierwiastki tegoż równania, i zastosować do niego wiedzę o ogólnych równaniach wielomianowych.

Rozważmy następujące równanie: $x^2-4x+3=0$. Jak moglibyśmy je rozwiązać, gdybyśmy nie znali szkolnej metody?

Pierwszy sposób opiera się na sprycie. Możemy napisać \[x^2-4x+3=x^2-x-3x+3=x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x-3),\] i okazuje się, że nasze równanie jest równoważne równaniu $(x-1)(x-3)=0$.

Drugi sposób wymaga nieco wprawy, ale za to nie musimy umieć wpadać na pomysł, jak rozpisać $4x$, żeby móc rozłożyć lewą stronę naszego równania na czynniki. Metoda ta nazywa się „uzupełnianiem do kwadratu”, i polega na wybraniu takiej wartości wyrazu wolnego, by powstał trójmian będący kwadratem wyrażenia liniowego. W naszym przypadku wygląda to tak: \[x^2-4x+3=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1^2=(x-2-1)(x-2+1)=(x-3)(x-1)\] – to samo, bo przecież mnożenie jest przemienne.

Możemy do sprawy podejść jeszcze inaczej. Jak wiemy (z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu), wymierne rozwiązanie tego równania musi być liczbą całkowitą, w dodatku dzielącą $3$. Nie mamy więc zbyt wielkiego pola manewru: rozwiązaniem tym może być jedna z czterech liczb: $\pm1$, $\pm3$. Podstawiając je kolejno i sprawdzając, które z nich spełniają nasze równanie, okazuje się, że są to liczby $1$ i $3$.

Oczywiście, gdybym był złośliwy i napisał równanie, którego pierwiastki są niewymierne, ostatni sposób nic by nam nie dał (pierwszy zresztą też raczej nie). Nie w tym jednak rzecz. Spójrzmy jeszcze raz na te trzy metody.

Zarówno pierwszy, jak i drugi sposób polegały na zamianie równania na szczególną postać: iloczyn kilku (w naszym przypadku: dwóch) czyników przyrównany do zera. W praktyce szkolnej zdecydowana większość równań zostaje prędzej czy później doprowadzona do takiej postaci. Dlaczego tak robimy? (Jak się okazuje, nie jest to jedyna metoda. Całkiem popularny, choć nieużywany w szkole sposób, opiera się na doprowadzeniu równania do postaci, w której po jednej stronie jest niewiadoma, a po drugiej stronie cała reszta, na przykład $x=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}$ – ale o tym innym razem.)

Powód jest – przynajmniej po chwili zastanowienia – bardzo prosty. Korzystamy mianowicie z następującej własności liczb rzeczywistych:

jeżeli iloczyn kilku liczb jest równy zero, to przynajmniej jedna z nich wynosi zero.

Wrócimy jeszcze do powyższej obserwacji; na razie przyjrzyjmy się trzeciej metodzie.

Trzeci sposób to de facto po prostu metoda prób i błędów: podstawiamy różne liczby do równania tak długo, aż trafimy na rozwiązanie. Oczywiście, rzadko stosujemy tę metodę w szkole, z bardzo prostego powodu: rozwiązań większości równań poszukujemy wśród liczb rzeczywistych, których jest zbyt dużo, aby metoda prób i błędów była efektywna. Poszukiwanie pierwiastków wymiernych wielomianu jest jednym z niewielu miejsc, w których dysponujemy twierdzeniem, które pozwala zawęzić obszar poszukiwań do zbioru skończonego – a wówczas metoda prób i błędów musi dać rozwiązanie (oczywiście, o ile równanie ma pierwiastki wymierne – ale w szkolnych zadaniach tak zawsze jest!) Powtórzmy:

gdy z góry wiadomo, że rozwiązań pewnego równania poszukujemy w zbiorze skończonym, możemy po prostu podstawiać kolejne liczby z tego zbioru do równania i sprawdzać, czy jest ono spełnione.