W poprzednim artykule zdefiniowaliśmy węzły i sploty, przedstawiliśmy ruchy Reidemeistara oraz twierdzenie Reidemeistera. Tym razem zajmiemy się niezmiennikami węzłów.

Rozróżnianie splotów jest bardzo skomplikowanym problemem. Twierdzenie Reidemeistera podaje nam warunek konieczny i wystarczający równoważności dwóch diagramów splotów. Jednak nie daje nam efektywnej metody pozwalającej na rozwiązanie problemu równoważności splotów. Dlatego matematycy, którzy zajmują się teorią węzłów, posługują sie niezmiennikami węzłów.
Niezmiennikiem splotów nazywamy funkcję, która każdemu diagramowi przyporządkowuje pewien obiekt algebraiczny w taki sposób, aby równoważnym diagramom odpowiadały te same wartości. Jeśli uda nam się znaleźć niezmiennik, który przyjmuje różne wartości dla danych diagramów, wówczas wiemy, że rozważane diagramy nie są równoważne.

Rozważmy teraz diagram splotu $D$. Orientacja diagramu $D$ to wybór kierunku obiegu każdej składowej splotu. Każda składowa posiada dwie orientacje, więc jeśli rozważany splot posiada $n$ składowych, to można go zorientować na $2^n$ sposobów. Skrzyżowania w zorientowanym diagramie możemy podzielić na dwie grupy: skrzyżowania dodatnie, którym przypiszemy wartośc $1$, i ujemne, którym przypiszemy wartość $-1$ tak jak na poniższych obrazkach.

Przecięcie dodatnie

Przecięcie ujemne.

Niech $K_1$ i $K_2$ będą składowymi splotu o diagramie $D$. Indeksem zaczepienia węzłów $K_1$ i $K_2$ nazywamy następującą liczbę

$$lk(K_1,K_2)=\frac{1}{2} \sum \pm 1,$$

gdzie powyższa suma wzięta jest po wszystkich przecięciach węzła $K_1$ z węzłem $K_2$, a składnikami tej sumy są liczby przyporządkowane odpowiednim skrzyżowaniom jak wyżej.

Rozważmy kilka przykładów.

Dla splotu trywialnego widocznego poniżej mamy $lk(K_1,K_2)=0$ bez względu na wybór orientacji, ponieważ nie ma żadnych przecięć.

Jako kolejny przykład rozważmy splot Witeheada. Na obrazku poniżej wybrana została orientacja oraz zaznaczono skrzyżowania dodatnie i ujemne.

Otrzymujemy $lk(K_1,K_2)=0$.

Jako kolejny przykład rozważmy splot Hopfa. Na rysunku zaznaczono jedną z $4$ orientacji oraz skrzyżowania dodatnie i ujemne.

Dla tego splotu otrzymujemy $lk(K_1,K_2)=-1$.

Zadanie. Pokaż, że przy zmianie jednego z węzłów $K_1$ lub $K_2$ liczba $lk(K_1,K_2)$ zmienia znak.

Twierdzenie. Indeks zaczepienia jest niezmiennikiem splotów.

W tym artykule pominiemy dowód i wrócimy do niego następnym razem.

Z powyższego twierdzenia od razu możemy wywnioskować, że splot Hopfa nie jest równoważny ze splotem trywialnym, ponieważ indeksy zaczepienia tych dwóch splotów są różne. Indeks zaczepienia splotu trywialnego wynosi zero dla dowolnego wybory orientacji. Z kolei indeks zaczepienia splotu Hopfa będzie równy $1$ lub $-1$ w zależności od wyboru orientacji.

Indeks zaczepienia nie odróżnia splotu Whiteheada od splotu trywialnego. Potrzebne są do tego inne niezmienniki.

Na koniec wrócmy do zagadki z początku poprzedniego artykułu. Wykonując wszystko zgodnie z instrukcjami splot, który powstanie ze sznurków i rąk będzie równoważny ze splotem Hopfa. Wcześniej powiedzieliśmy, że splot Hopfa jest nietrywialny i co za tym idzie nie da się go rozsupłać bez rozcinania którejś ze składowych. Jednakże w naszej zagadce mamy do dyspozycji jeszcze pętle na nadgarstkach, które możemy wykorzystać. Nie chcąc psuć nikomu zabawy pozostawię czytelników z tą podpowiedzią. Życzę miłej zabawy!