− A gdzie leży Kraków?
− Nad Wartą!
− A uczyć się warto?
− Nie warto!
Julian Tuwim, „Zosia Samosia”

Ten fragment wiersza, przy okazji w dowcipny sposób pokazujący niestandardowe związki krakowsko-poznańskie, przypomniał mi się, gdy niedawno usłyszałem postawione w tytule tego tekstu pytanie. Nie wiem, jakie zwyczaje panują teraz w szkole − za mojej młodości to, że ktoś się uczył, nieraz było traktowane przez rówieśników z pewnego rodzaju niesmakiem. Przydomek „kujon”, który naprawdę oznacza kogoś, kto uczy się różnych rzeczy na pamięć bez należytego zrozumienia, nadawany był często osobom, które pracowały i po prostu zwyczajnie się uczyły. Może teraz jest trochę normalniej… Sądzę, że tak, bo odnoszę wrażenie, że wiedza jest, także przez młodzież, doceniana. Miałem w liceum kolegę, świetnego matematyka, który twierdził, że gdyby było możliwe przejście do następnej klasy z dwóją (wtedy oceną negatywną), to on chciałby mieć z historii dwóję, bo to by zaakcentowało jego ukierunkowanie na nauki ścisłe. Moje kontrargumenty, że historia jest ciekawa, a poza tym wypada ją znać, jakoś do niego nie przemawiały. Mam nadzieję, że i takie postawy to odległa przeszłość, choć nie da się ukryć, że wciąż od czasu do czasu słyszę opinie w rodzaju „ja jestem humanistą i matematyka to dla mnie czarna magia”. Szkoda, że wygłaszające takie tezy osoby nie wiedzą, iż kiedyś słowem „humanista” nazywano człowieka o szerokich horyzontach, rozległych zainteresowaniach, zauważającego ludzkie aspekty rozmaitych nauk. W tym, oczywiście, matematyki.

Wiedza to wspaniała rzecz. To naprawdę jest bardzo przyjemne i miłe, gdy różne rzeczy się wie… Gdy chodzę po górach, wielką satysfakcję sprawia mi rozpoznanie tej czy innej rośliny (im wyżej, tym większe prawdopodobieństwo, że znam nazwę konkretnego kwiatka¹) i bardzo żałuję, że nie rozpoznaję ptaków po głosie. Kojarzenie faktów i postaci historycznych również przynosi zadowolenie… Oczywiście, nie można (niestety) wiedzieć wszystkiego. Ale im więcej się wie, tym lepiej − i dotyczy to także matematyki.

Ludzie mają rozmaite gusty i upodobania; nie każdy musi lubić matematykę. Co więcej, ludzie mają różne uzdolnienia. Jeden pięknie śpiewa, inny wspaniale rysuje, a jeszcze inny ma właśnie predyspozycje matematyczne − to prawda. Ale szczególne zdolności w pewnym kierunku potrzebne są tym, którzy daną dziedziną czy czynnością będą się w życiu bardziej aktywnie zajmować. Nie każdy występuje na estradzie, ale każdy chyba od czasu do czasu zanuci jakąś melodyjkę. Zawodowo matematyką zajmują się jedynie nieliczni − i bardzo dobrze, nie mogą przecież wszyscy być matematykami.

Czy matematyka musi się każdemu podobać? Różnie być może, bo przecież pewne urazy mogą pozostać na dłużej… Ale jest ona piękna i ciekawa, i naprawdę można ją polubić, nawet jeśli ma się do niej pewne uprzedzenia.

Dla mnie w matematyce wspaniałe jest to, że uzyskane w niej wyniki pozostają zawsze prawdziwe, niezależnie od mody, od opcji politycznej, od aktualnej władzy, czy nawet od precyzji aparatury, za pomocą której wykonujemy doświadczenia. Twierdzenie Pitagorasa było prawdziwe dwa tysiące lat temu i będzie prawdziwe za dwa tysiące lat… Ba, nie tylko było prawdziwe dwa tysiące lat temu, ale było prawdziwe zawsze − tyle, że ludzkość go jeszcze nie znała. Nawet, gdy nie było jeszcze na świecie ludzi, też było ono prawdziwe, bo gdyby pitekantropusowi zdarzyło się narysować palcem na piasku trójkąt prostokątny, to suma kwadratów przyprostokątnych byłaby równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Jeśli ktoś kiedyś udowodni hipotezę Riemanna (uważaną za najważniejszy nie rozstrzygnięty problem matematyczny), to − jeśli tylko dowód będzie poprawny − okaże się, że hipoteza jest prawdziwa i nic w tej sprawie nie będzie można zmienić. Czyż nie jest to piękne? Bo, na przykład, sytuację, gdy jedni prawnicy mówią, że zgodnie z prawem jest tak, a inni, że jest dokładnie odwrotnie, i − dziwnym trafem − ci pierwsi związani są z zupełnie inną opcją polityczną, niż ci drudzy, można skwitować uśmiechem politowania lub wręcz niesmakiem. Nawet w takich naukach, jak fizyka, pewne sprawy okazują się dyskusyjne − przez około sto lat za poprawną uważano teorię flogistonu (hipotetycznej materii, będącej składnikiem każdej palnej substancji, mającej wydzielać się podczas spalania), a potem okazało się, że flogiston nie istnieje.

Matematyka jest nauką logicznego myślenia. Oczywiście, logiczne myślenie potrzebne jest w każdej nauce, ale w matematyce odgrywa ono rolę szczególną. Bo tu w zasadzie wszystko opiera się na logicznym rozumowaniu. Kapitalna sprawa! Niektórzy tego nie lubią? Sądzę, że wbrew pozorom, bardzo nieliczni…

W 1970 roku „Życie Warszawy” rozpoczęło wydawanie czwartkowego dodatku „Życie i Nowoczesność”. W numerze 87, w dniu 13.01.1972 ukazał się po raz pierwszy kącik „Rozkosze Łamania Głowy” redagowany przez Lecha Pijanowskiego². Pijanowski pisał wtedy:

Nowoczesność wymaga logiki, konsekwencji, zdolności kombinacji i kojarzenia we wszystkich sprawach, i poważnych, i błahych. Wymaga tego także życie. W oparciu o to rozumowanie udało mi się przekonać Redakcję „Życia i Nowoczesności”, że zadawanie Czytelnikom niewielkich, ale (oby!) interesujących i podchwytliwych pytań z zakresu logiki, konsekwencji, kombinacji i kojarzenia ma swój sens, choćby owe pytania były błahe i rozrywkowe.

Co tydzień w kąciku ukazywało się kilka zadań matematycznych i logicznych. Kącik wzbudził ogromne zainteresowanie, do redakcji przysyłano nawet nie setki, a tysiące rozwiązań! Po pewnym czasie Pijanowski napisał:

[D]ość powszechny jest pogląd, że u nas tak zwany „szary człowiek” nie lubi matematyki i logiki, nie umie konsekwentnie myśleć, nie jest zacięty i uparty. Nasz charakter narodowy według umownego schematu to raczej obłok romantyzmu, nić improwizacji, łut szczęścia… Nic podobnego. W szczególny, mały, ale jakże wyrazisty sposób przeczy temu rzeczywiste zainteresowanie tak wielu Czytelników zadaniami logicznymi, wiele prawidłowych rozwiązań starannie, nieraz zdumiewająco pedantycznie wykonanych i konsekwentnie wysyłanych z tygodnia na tydzień. (…) Trening umysłowy, gimnastyka mózgu okazały się potrzebne i popularne − by tylko to stwierdzić, warto było na łamy gazety wprowadzić „Rozkosze Łamania Głowy”.

Dlaczego zatem tak wiele osób w szkole nie lubi matematyki? Sądzę, że odpowiedź związana jest z konieczną w nauce matematyki systematyczności. Matematykę budujemy jak dom, cegiełka na cegiełce… Do poznania kolejnego materiału potrzebna jest wiedza o tym, co było poprzednio. A przecież nieraz uczeń pomyśli: „a, wczoraj byłem pytany, mogę sobie przez tydzień matematykę odpuścić” − i odpuszcza, a potem okazuje się, że materiał zrealizowany w tymże tygodniu jest potrzebny do dalszego ciągu − i kłopot! Tak poważnych związków z dotychczas przerobionym materiałem nie ma w żadnej innej nauce. Można, na przykład, świetnie nauczyć się wszystkiego o Napoleonie, nic nie wiedząc, co na przełomie tysiącleci robili Mieszko I i jego brat Czcibor. Być może zaległości tego typu i ich późniejsze konsekwencje powodują, że zainteresowanie Międzynarodowym Konkursem „Kangur Matematyczny” jest wśród uczniów szkół podstawowych ogromne, a wśród licealistów − śladowe.

A czy można ocenić, choćby częściowo, urok matematyki wyższej − tu przecież do zrozumienia owych rozumowań potrzebna jest naprawdę duża wiedza i odpowiednie wykształcenie, z czym jednak nie każdy musi sobie poradzić − tak, jak nie każdy potrafi zagrać na waltorni? Oczywiście! Istnieją przecież książki popularnonaukowe, niezmierzony świat Internetu… Dzięki temu można dowiedzieć się, że istnieje coś takiego, jak fraktale i zobaczyć ich piękno, dostrzec niezwykłe zjawisko zachodzące na wstędze Möbiusa czy zadziwić się fenomenem wielkiego twierdzenia Fermata, które czekało na poprawny dowód przez ponad 300 lat… Oczywiście, nikt nie może wymagać, żeby przy okazji osoba, której fraktale czy wstęga Möbiusa się spodobają, znała definicje wymiaru Hausdorffa czy rozmaitości nieorientowalnej, a zrozumienie tezy wielkiego twierdzenia Fermata nie musi się wiązać ze zrozumieniem dowodu Wilesa. Ale tak samo ktoś, kto podziwia w telewizji czy z Kasprowego Wierchu urok tatrzańskich szczytów, nie musi w tym celu wejść samodzielnie na Kozi Wierch czy pokonać południową ścianę Zamarłej Turni. Można jednak zauważyć, że właśnie wstęga Möbiusa użyta jest w symbolu recyklingu (to nie są strzałki na zwykłym pasku, to są strzałki na wstędze Möbiusa) i nie jest to przypadek! Kolejna sytuacja, w której dzięki posiadanej wiedzy możemy być mądrzejsi³.

Wspomniałem o pięknie − bo oprócz chęci poznania, istnieje też coś takiego, jak piękno matematyki. Gusty są oczywiście różne, ale można się spodziewać, że urok fraktali przemówi do większości tych, którzy im się będą przyglądać. Piękno można zaobserwować nie tylko w matematycznych obiektach, lecz nawet w dowodach! Niejednokrotnie jednak, by docenić to piękno, trzeba wiedzieć coś więcej. Wzór $e^{i\pi} + 1 = 0$, przez wielu (także przez piszącego te słowa) uważany jest za najpiękniejszy wzór matematyki⁴. By to dostrzec, należy mieć pewną (choć może nie aż tak wielką) wiedzę matematyczną. Podobnie jest z pięknem dowodów. Niektóre rozumowania zachwycają swoją urodą. Podam przykład niezbyt trudnego dowodu, który mnie się bardzo podoba. Wykażemy, że istnieją takie liczby niewymierne $a$ i $b$, że $a^b$ jest liczbą wymierną. Pytanie, czy to prawda, zadał mi w czasie moich studiów inny student matematyki, informując jednocześnie, że rozwiązanie można zapisać na bilecie tramwajowym. Następnego dnie wręczyłem mu bilet tramwajowy z rozwiązaniem. Oto ono. Wiadomo, że $\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną. Rozważmy liczbę $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$. Jeśli jest to liczba wymierna, dowód jest zakończony. Jeśli zaś nie, to weźmy $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ i $b =\sqrt{2}$. Obie liczby są niewymierne, ale $a^b = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2$. Uwaga: wykazaliśmy, że coś istnieje, ale nie wskazaliśmy tego konkretnie!⁵ Ale są też, oczywiście, liczne przepiękne dowody, do których zrozumienia i docenienia ich uroku potrzebna jest większa wiedza… Między innymi po to warto się uczyć matematyki.

I tu w zasadzie mógłbym zakończyć, ale warto dodać też aspekt bardziej pragmatyczny. Bo ktoś mógłby zapytać: no dobrze, piękne, ale czy ja coś będę z tego miał?

Tekst zaopatrzony był mottem, teraz więc pora na drugie motto, czyli netto⁶.

A to się może przydać,
To się jeszcze kiedyś może przydać,
Lepiej teraz trochę wydać,
By w przyszłości uniknąć przykrości.
Andrzej Rosiewicz „Jedzcie ryż”

Powyższe motto (netto) wymaga pewnego komentarza. I nie chodzi o to, dlaczego zostało użyte, bo to jest raczej jasne, ale o dodatkowe informacje. Rosiewicz i „Jedzcie ryż”? W latach siedemdziesiątych i osiemdziesiątych Andrzej Rosiewicz był przez publiczność wręcz uwielbiany (sam stałem w punkcie przedsprzedaży przez parę godzin w kolejce, by nabyć bilety na jego występ − a przyszedłem pierwszego dnia sprzedaży i przed otwarciem kas) ale ten tytuł chyba mało kto kojarzy… Rosiewicz najbardziej znany jest z takich piosenek, jak „Żaba story”, „Paryzie tango” „Czterdzieści lat minęło”, „Zenek blues”, „Chłopcy radarowcy”⁷ i rozmaitych innych. Otóż bodaj w 1975 roku kabaret „Pod Egidą” Jana Pietrzaka wystawił program, który podobno po pierwszym występie został w całości zdjęty przez cenzurę. Po Polsce krążyły kasety magnetofonowe z nagraniem z sali… I w tym właśnie programie Andrzej Rosiewicz zaśpiewał piosenkę z refrenem stanowiącym powyższe motto. Gdy w 1980 roku ucisk cenzury nieco zelżał i pewne występy artystów zostały w końcu oficjalnie upowszechnione, ten program kabaretowy dalej pozostał w sferze nieoficjalnej. Niektóre fragmenty wciąż nie mogły uzyskać akceptacji cenzury, a niektóre trochę się zdezaktualizowały. A w 1989 roku zdezaktualizowało się już z tego programu praktycznie wszystko… Nie wiem, czy gdzieś jest publicznie dostępna ta piosenka w oryginalnym wykonaniu. W Internecie na portalu {\it youtube.pl} znalazłem dwa filmiki, ale w amatorskich i fatalnych wykonaniach, ze zniekształconą melodią, przekręconym tekstem…

To była dygresja − pokazująca jednak, że przy okazji poruszana tematu matematyki można się dowiedzieć też o innych zajmujących rzeczach. Wróćmy do meritum. Do czego dziś może się przydać matematyka?

Jest ona nieodzowna w akademickim wykształceniu na niemal każdym kierunku. Może to zabrzmieć zaskakująco. Potrzeba znajomości matematyki przez fizyka czy inżyniera jest niewątpliwa, ale w rozmaitych innych dziedzinach ów związek wydaje się nad wyraz naciągany. A jednak! Okazuje się, że w pracy biologa matematyczna wiedza jest w zasadzie konieczna. Niejeden dowiaduje się o tym za późno… W szkole, w klasach o profilu biologiczno-chemicznym, matematykę zazwyczaj traktuje się po macoszemu. Potem w życiu młodego biologia nadchodzą studia, gdzie na ten przedmiot przeznaczono niewiele godzin. A następnie okazuje się, że pewne matematyczne umiejętności są konieczne do rozmaitych badań naukowych − i trzeba się tego nauczyć samemu, co wcale nie jest łatwe… Prawo − ileż może pomóc logiczne podejście do pewnych reguł. Medycyna − na przykład, przy rekrutacji na kierunek lekarski na Uniwersytecie Jagiellońskim brany jest pod uwagę wynik na maturze z matematyki i nie jest to przypadek. Politologia… Bardzo ważnym aspektem wyborów jest sprawa ordynacji wyborczej. W lecie 2015 roku sprawa stała się u nas głośna ze względu na referendum. Czy wybierać posłów w okręgach jednomandatowych (JOW) czy w wielomandatowych (według ordynacji nazywanej proporcjonalną)? W dyskusjach matematyka się raczej nie pojawiała… A szkoda, bo znajomość odpowiednich matematycznych mechanizmów wyborczych oraz rezultatów związanych z problemami wyborczymi czy z proporcjonalnym podziałem (twierdzenie Arrowa, twierdzenie Balinskiego−Younga) i fachowe podejście do problemu sposobu obliczania głosów mogłoby pomóc w zwiększeniu merytorycznych aspektów tychże dyskusji. Przykłady można mnożyć. Ba, nawet w przypadku polonistyki czy filologii obcych znajomość matematyki jest bardzo przydatna. Pomaga ona bowiem w istotny sposób w opanowaniu rozmaitych reguł ortograficznych czy gramatycznych. Przeważnie przecież reguły te nie są wyssane z palca, a opierają się na pewnych logicznych zasadach. Biegłość w posługiwaniu się matematyką może bardzo ułatwić opanowanie tychże zasad.

I tu przechodzimy w płynny sposób do innego aspektu sprawy, „życiowego”.

Otóż matematyka, jak żadna inna nauka, kształtuje umiejętność „kombinowania” (w pozytywnym tego słowa znaczeniu). Inaczej mówiąc − dostarcza świetnego treningu dla umysłu do rozwiązania pojawiających się w życiu problemów − zarówno drobnych, jak i poważniejszych! Czy to związanych z jakimś niewielkim rachunkiem, czy z inną „życiową” łamigłówką. Wspomniane przed chwilą reguły ortograficzne i gramatyczne są dobrym przykładem. Ale przykładów jest masa… Chcemy ulokować pewną sumę pieniędzy na lokacie. Jeden bank oferuje taką, drugi inną, różnią się nie tylko oprocentowaniem, ale także terminami lokat i nie jest „od pierwszego wejrzenia” jasne, gdzie zarobimy więcej… Jeśli ktoś powie, że od tego są kalkulatory czy arkusze kalkulacyjne, oczywiście będzie miał rację, ale nie zawsze użycie kalkulatora jest możliwe czy sensowne. Wyobraźmy sobie, że kupujemy w sklepie herbatę. Na półce stoją paczki kilku gatunków herbat, a i objętości paczek są różne. Chcemy kupić najtaniej − trzeba to obliczyć… I co, wyjmujemy laptopa i wpisujemy ceny w arkusz kalkulacyjny? Niektóre komórki dziś bez trudu pomogą w rozwiązaniu problemu, ale co będzie, jeśli akurat wyczerpie się bateria? A teraz coś z „zupełnie innej bajki”. Interesujemy się sportem? No to rozważmy taką sytuację. Nasza reprezentacja piłkarzy ręcznych występuje w Mistrzostwach Świata czy Europy, w rozgrywkach grupowych pewne mecze przegrała, pewne wygrała, ma grać ostatni mecz, a awans zależy nie tylko od jego wyniku, ale i od wyników spotkań pozostałych konkurentów. Znając sytuację w tabeli i regulamin rozgrywek trzeba ustalić, jaki wynik na pewno doprowadzi nas do awansu, jaki zaś nic nam nie da… Pewnie komentatorzy powiedzą to podczas transmisji − choć, biorąc pod uwagę możliwości naszych komentatorów sportowych, nie jest to wcale takie pewne (zwłaszcza komentujący piłkę nożną informują nas o prostopadłych podaniach, o czytaniu gry, o szukaniu na boisku partnerów albo o tym, który brat bliźniak jest o pięć minut starszy, zamiast mówić o rzeczach istotnych, jak na przykład takich, kto akurat jest przy piłce; zastanawiam się nieraz, do czego podanie może być prostopadłe albo kto się zgubił na wcale nie tak wielkim boisku). Niemniej, czasem chcemy jak najszybciej wiedzieć, jaki wynik nas satysfakcjonuje. Czemu nie zrobić tego samodzielnie? Czasami chciałoby się rozważyć różne możliwości na kilka kolejek przed zakończeniem rozgrywek. Dlaczego się z tym zadaniem nie zmierzyć?

Można wymieniać rozmaite tego typu sytuacje. Szukamy na nie znanym nam osiedlu domu o konkretnym numerze? Jeśli założymy, że numeracja oparta jest na jakiejś sensownej zasadzie, łatwiej ten dom znajdziemy. Czekamy na przystanku tramwajowym i sprawdzamy rozkład jazdy − nieraz szybka kalkulacja może pomóc w decyzji, czy czekać, czy − powiedzmy − udać się na pobliski przystanek autobusowy. „Życiowe” łamigłówki pojawiają się niemal na każdym kroku. Wielokrotnie dobry matematyczny trening okazuje się nad wyraz pomocny do ich rozwiązania.

Głęboką rację miał Lech Pijanowski pisząc, że życie wymaga logiki, konsekwencji, zdolności kombinacji i kojarzenia we wszystkich sprawach, i poważnych, i błahych.

Naprawdę, warto uczyć się matematyki także i po to, by w przyszłości uniknąć przykrości.

Przypisy

1. Tutaj przydaje się znajomość teorii prawdopodobieństwa, wszak im wyżej tym mniej kwiatów! − przyp. red. (ale im wyżej, tym bardziej te kwiatki nietypowe! − przyp. autora do przyp. red.)
2. Lech Pijanowski (1928−1974), z zawodu krytyk filmowy, wielki autorytet w dziedzinie gier i łamigłówek logicznych, autor znakomitych książek z tej tematyki.
3. Niekiedy symbol ten rysowany jest w postaci zwykłej wstążki − przypuszczalnie z powodu niezrozumienia wymowy pokazanej w oryginale za pomocą wstęgę Möbiusa.
4. Zainteresowanych czytelników odsyłamy do tekstu Mister wśród wzorów − przyp. red.
5. Zostało wykazane, że $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ jest liczbą niewymierną, ale dowód tego jest trudny.
6. To nie mój dowcip; znakomita książka Śledzia Otrembusa Podgrobelskiego „Wstęp do imagineskopii” − gorąco polecam! − zawiera motto, netto i brutto.
7. Jeśli Czytelnik nie zna którejś z tych piosenek, sugeruję poszukanie choćby w Internecie i wysłuchanie. Uważam, że warto! I jako bonus proponuję „Usta Mariana” oraz „O miłości małego fiata do syrenki”.

Autor jest doktorem nauk matematycznych, pracownikiem Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, autorem wielu książek popularyzujących matematykę.

---

Ten artykuł został sfinansowany dzięki wsparciu pozyskanemu przez Poznańską Fundację Matematyczną od Miasta Poznań na realizację projektu ,,Potęga matematyki''.