Processing math: 100%
Poznański Portal Matematyczny

Pierwiastek n-tego stopnia z liczby pierwszej p

Autor: Krzysztof Pawałowski

plots_roots

Wykres funkcji y=x1/n dla n=3,5,7,9,11,13.

Przez liczbę pierwszą p rozumiemy taką liczbę naturalną większą od 1, która dzieli się tylko przez 1 oraz p.

Twierdzenie. Niech p będzie liczbą pierwszą. Dla żadnej liczby naturalnej n>1 nie istnieją takie liczby naturalne x oraz y różne od 0, że xn=pyn.

Dowód. Przypuśćmy, że dla pewnej liczby naturalnej n>1 istnieją takie liczby naturalne x oraz y różne od zera, że xn=pyn. Niech a oraz b będą największymi liczbami naturalnymi takimi, że pa oraz pb dzielą x oraz y, odpowiednio.

Wówczas an oraz bn są największymi liczbami naturalnymi takimi, że pan oraz pbn dzielą xn oraz yn, odpowiednio. Z równości xn=pyn wynika, że

pan=ppbn,

a stąd an=bn+1, tj. n(ab)=1. To jednak jest niemożliwe, bo n>1, co kończy dowód twierdzenia.

Wniosek. Dla każdej liczby naturalnej n>1 pierwiastek n-tego stopnia z liczby pierwszej p jest liczbą niewymierną.

Dowód. Gdyby pierwiastek n-tego stopnia z liczby pierwszej p był liczbą wymierną, powiedzmy postaci x/y dla pewnych liczby naturalnych x oraz y różnych od 0, to (x/y)n=p, tj. xn=pyn, co przeczy twierdzeniu i tym samym kończy dowód wniosku.

Do góry
Ta strona wykorzystuje pliki cookies

Ta strona wykorzystuje pliki cookies do zapewniania najwyższej wygody korzystania z serwisu. Te same pliki mogą być wykorzystywane przez współpracujące z nami firmy w celach badawczych. Jeśli wyrażasz zgodę na nasze działania, zamknij ten komunikat. Pamiętaj, że zawsze możesz wyłączyć obsługę plików cookies w swojej przeglądarce.

Zamknij