Wykres funkcji $y=x^{1/n}$ dla $n=3,5,7,9,11,13$.

Przez liczbę pierwszą $p$ rozumiemy taką liczbę naturalną większą od $1$, która dzieli się tylko przez $1$ oraz $p$.

Twierdzenie. Niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Dla żadnej liczby naturalnej $n > 1$ nie istnieją takie liczby naturalne $x$ oraz $y$ różne od $0$, że $x^n = p y^n$.

Dowód. Przypuśćmy, że dla pewnej liczby naturalnej $n > 1$ istnieją takie liczby naturalne $x$ oraz $y$ różne od zera, że $x^n = p y^n$. Niech $a$ oraz $b$ będą największymi liczbami naturalnymi takimi, że $p^a$ oraz $p^b$ dzielą $x$ oraz $y$, odpowiednio.

Wówczas $an$ oraz $bn$ są największymi liczbami naturalnymi takimi, że $p^{an}$ oraz $p^{bn}$ dzielą $x^n$ oraz $y^n$, odpowiednio. Z równości $x^n = p y^n$ wynika, że

\[p^{an} = p p^{bn},\]

a stąd $an = bn + 1$, tj. $n(a-b) = 1$. To jednak jest niemożliwe, bo $n > 1$, co kończy dowód twierdzenia.

Wniosek. Dla każdej liczby naturalnej $n > 1$ pierwiastek $n$-tego stopnia z liczby pierwszej $p$ jest liczbą niewymierną.

Dowód. Gdyby pierwiastek $n$-tego stopnia z liczby pierwszej $p$ był liczbą wymierną, powiedzmy postaci $x/y$ dla pewnych liczby naturalnych $x$ oraz $y$ różnych od $0$, to $(x/y)^n = p$, tj. $x^n = p y^n$, co przeczy twierdzeniu i tym samym kończy dowód wniosku.