Wykres funkcji y=x1/n dla n=3,5,7,9,11,13.
Przez liczbę pierwszą p rozumiemy taką liczbę naturalną większą od 1, która dzieli się tylko przez 1 oraz p.
Twierdzenie. Niech p będzie liczbą pierwszą. Dla żadnej liczby naturalnej n>1 nie istnieją takie liczby naturalne x oraz y różne od 0, że xn=pyn.
Dowód. Przypuśćmy, że dla pewnej liczby naturalnej n>1 istnieją takie liczby naturalne x oraz y różne od zera, że xn=pyn. Niech a oraz b będą największymi liczbami naturalnymi takimi, że pa oraz pb dzielą x oraz y, odpowiednio.
Wówczas an oraz bn są największymi liczbami naturalnymi takimi, że pan oraz pbn dzielą xn oraz yn, odpowiednio. Z równości xn=pyn wynika, że
pan=ppbn,
a stąd an=bn+1, tj. n(a−b)=1. To jednak jest niemożliwe, bo n>1, co kończy dowód twierdzenia.
Wniosek. Dla każdej liczby naturalnej n>1 pierwiastek n-tego stopnia z liczby pierwszej p jest liczbą niewymierną.
Dowód. Gdyby pierwiastek n-tego stopnia z liczby pierwszej p był liczbą wymierną, powiedzmy postaci x/y dla pewnych liczby naturalnych x oraz y różnych od 0, to (x/y)n=p, tj. xn=pyn, co przeczy twierdzeniu i tym samym kończy dowód wniosku.