2 Część druga: równania wielomianowe w arytmetyce kongruencji

W pierwszej części niniejszego tekstu przypomnieliśmy sobie (na prostym przykładzie równania $x^2-4x+3=0$), jak można rozwiązywać równania wielomianowe, i dlaczego znane nam metody działają. Teraz naszym celem jest pokazanie, co może się wydarzyć, gdy rozwiązań naszego równania będziemy poszukiwać nie wśród liczb rzeczywistych, lecz całkiem gdzie indziej.

Okazuje się, że dobrze nam znany sposób liczenia (w którym poznajemy najpierw liczby naturalne, potem całkowite i wymierne, a w końcu rzeczywiste) nie jest jedynym możliwym. Co więcej, dotyczy to nie tylko matematyki – również w życiu zdarza się nam stosować inne systemy liczbowe. Klasycznym (i doskonale wszystkim znanym) jest system, który matematycy nazywają $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$. Jak wiemy, tarcza zegara ma $12$ godzin (dla prostoty pozwolimy sobie zapomnieć o wskazówce minutowej i będziemy liczyć wyłącznie pełne godziny). Oznacza to, że jeżeli mamy godzinę piątą, to za dziesięć godzin nie wybije godzina piętnasta (bo takiej nie ma – umawiamy się na dwunastogodzinny system liczenia czasu), ale trzecia. Podobnie, jeżeli skończyliśmy oglądać dwugodzinny film o godzinie pierwszej, to musieliśmy go zacząć oglądać o jedenastej, a nie o „minus pierwszej”.

Jakiego pojęcia matematycznego możemy użyć, by opisać taki sposób liczenia? Nie jest bardzo trudno zauważyć, że korzystamy z reszt z dzielenia przez $12$. Przykładowo, w systemie „zegarowym”, suma liczb $5+_{12}10$ wynosi $3$ – bo tyle wynosi reszta z dzielenia „normalnej” sumy $5+10$ przez $12$. (Mała dwunastka przy znaku dodawania przypomina nam o tym, że nie jest to zwykłe dodawanie, a tak zwane „dodawanie modulo $12$”.) Można poćwiczyć sobie dodawanie i odejmowanie w tym systemie, a nawet mnożenie: jeżeli jest godzina dwunasta (czyli „zerowa” w wersji „bardziej matematycznej”, gdzie liczymy od $0$ do $11$), i chcę obejrzeć trzy japońskie, siedmiogodzinne filmy, skończę je oglądać o godzinie dziewiątej (bo $3\cdot_{12}7=9$).

Schody zaczynają się, gdy próbujemy dzielić. Jeżeli jest godzina dwunasta, chcę spotkać się z sześcioma osobami (i każdej poświęcić tyle samo czasu), i zakończyć spotkania o szóstej, to ile czasu będę miał dla każdej z tych osób? Może po prostu godzinę? A może trzy godziny? A może pięć? Nie wiadomo, bowiem wszystkie te trzy liczby (a nawet nie tylko one) są (jak łatwo się przekonać, podstawiając je i wyliczając lewą stronę) rozwiązaniami równania $x\cdot_{12}6=6$. (Oczywiście, w rzeczywistości nie ma problemu, gdyż pewnie ustaliłbym zawczasu, czy chcę zakończyć moje spotkania o szóstej rano czy o szóstej w nocy i którego dnia, ale w powyższym równaniu tej informacji nie ma!)

Mamy więc pierwszą zaskakującą sytuację: równanie liniowe, które ma więcej niż jedno rozwiązanie! Jak się okazuje, na tym nie koniec niespodzianek.

Wróćmy do naszego równania, $x^2-4x+3=0$. Zbadamy teraz jego zachowanie w $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ – innymi słowy, interesuje nas teraz równanie $x\cdot_{12}x-_{12}4\cdot_{12}x+_{12}3=0$. (Ponieważ taki zapis jest dość niewygodny, umówmy się, że zrezygnujemy w dalszym ciągu z indeksów „$12$” przy każdym znaku działań, pamiętając, że wszystkie działania będziemy odtąd rozumieć modulo $12$.)

W pierwszej części powiedzieliśmy sobie, że równań określonych dla liczb rzeczywistych nie rozwiązuje się metodą prób i błędów, gdyż mamy nieskończenie wiele „kandydatów” na rozwiązania. Teraz jednak sytuacja jest całkiem inna: ponieważ rozwiązań poszukujemy w zbiorze $\{0,1,\dots,11\}$, możemy po prostu wyliczyć wartość lewej strony dla tych dwunastu liczb, i sprawdzić, kiedy wynosi ona $0$. Oto stosowna tabelka:

Nie zaskakuje nas, że wartość interesującego nas trójmianu dla $x=1$ i $x=3$ wynosi zero, jednak to, że jest tak również dla $x=7$ oraz dla $x=9$ mogło nie być spodziewane. Oznacza to, że w $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ istnieje trójmian kwadratowy o czterech pierwiastkach!