Czy zastanawiałeś się pod jakim kątem należy rzucić piłkę, żeby uderzyła w ziemię jak najdalej? Płaski tor rzutu spowoduje, że piłka nie wykorzysta całej prędkości. Celując wyżej możemy dorzucić piłkę dalej, natomiast jeśli przesadzimy wzbije się ona wysoko, ale spadnie tuż przy nas.
Z odpowiedzią na to pytanie przychodzi analityczne spojrzenie na tor lotu obiektu. W naszych rozważaniach pomijamy opór powietrza.
Analityczny opis toru lotu
Spójrzmy na lecącą piłkę z boku. Położenie piłki możemy opisać za pomocą współrzędynch x oraz y, które będą zależały od czasu t. W chwili początkowej t0=0 piłka będzie zaczynała ruch i znajdowała się tuż przy ziemi. Wtedy również x=0 oraz y=0. Piłka będzie leciała w prawo oraz początkowo będzie wznosiła się w powietrze, aby następnie zacząć opadać.
Lecący w powietrzu obiekt będzie miał pewną prędkość v, której wektor skierowany jest pod pewnym kątem α do powierzchni ziemi. Wektor prędkości v rozbijamy na 2 składowe vx (poziomą) oraz vy (pionową).
Końce wektorów vx, v wraz z punktem ich wspólnego początku tworzą trójkąt prostokątny. Korzystając ze wzorów trygonometrycznych dostajemy cos(α)=vxv, czyli vx=vcos(α). I podobnie sin(α)=vyv, co daje vy=vsin(α).
W chwili początkowej t0=0 (kiedy x=0 i y=0) ustalamy że mamy kąt α0 oraz prędkość v0 ze składowymi v0x, v0y.
Prędkość pozioma vx nie bedzie zmieniać się w żadnym punkcie trajektorii lotu, ponieważ jedyna siła działająca na nasz obiekt to siła grawitacji skierowana prostopadle do wektora prędkości vx. Tak więc funkcja zależności położenia x od czasu t będzie dana wzorem x(t)=v0xt jak w każdym ruchu jednostajnym prostoliniowym. Podstawiając v0cos(α) pod v0x dostaniemy x(t)=v0tcos(α0).
Siła grawitacji oddziaływać będzie natomiast na prędkość pionową. Ze względu na obecność przyśpieszenia grawitacyjnego ruch pionowy będzie ruchem jednostajnie przyśpieszonym z prędkością początkową v0y oraz przyśpieszeniem grawitacyjmy −g. Minus wynika z tego, że przyśpieszenie grawitacyjne skierowane jest „w „dół” osi y. Zależność wysokości y od czasu t wyrazimy wzorem na położenie w ruchu jednostajnie przyśpieszonym, czyli y(t)=v0yt–gt22. Podstawiając v0sin(α0) pod v0y dostaniemy y(t)=v0tsin(α0)–gt22.
Mamy już równania ruchu:
x(t)=v0tcos(α0)y(t)=v0tsin(α0)–gt22
Największy zasięg
Znamy już funkcje x i y. Ruch obiektu będzie trwał tak długo jak długo współrzędna y będzie większa od zera. W chwili uderzenia obiektu o ziemię tk będziemy mieli y(tk)=0. Musimy zatem znaleźć takie tk, że y(tk)=0.
y(t)=0v0tsin(α0)–gt22=02v0tsin(α0)–gt2=0t(2v0sin(α0)–gt)=0
Dostajemy, że t=0 albo (2v0sin(α0)–gt)=0. Pierszy przypadek to t0, czyli początku ruchu. Drugi przypadek zachodzi
w momencie uderzenia o ziemię, więc będzie to tk.
2v0sin(α0)–gt=0gt=2v0sin(α0)t=2v0sin(α0)g
Mamy czas końcowy tk=2v0sin(α0)g. Warto zauważyć, że jest to całkowity czas trwania lotu. Podstawiamy tk do wzoru
na współrzędną poziomą x.
x(t)=v0tcos(α0)x(tk)=v02v0sin(α0)gcos(α0)x(tk)=v202sin(α0)cos(α0)gx(tk)=v20sin(2α0)g
Ostatnie przekształcenie wynika ze wzoru na sinus kąta podwójnego sin(2α0)=2sin(α0)cos(α0).
Wiemy już, że zasięg rzutu możemy obliczyć ze wzoru x(tk)=v20sin(2α0)g. Teraz chcemy dowiedzieć się jak dobrać kąt α0 tak, żeby wartość x(tk) była największa.
Wyrażenie v202sin(2α0)g będzie tym większe, im większy będzie sin(2α0). Oczywiście największą wartość jaką może osiągnąć sinus to 1 i jest ona osiągana dla kąta równego 90 stopni, gdy pytamy się o kąt pomiędzy 0 a 360 stopni.
sin(2α0)=12α0=90∘α0=45∘
Otrzymujemy odpowiedź, że najbardziej optymalny kąt dla rzutu to kąt 45 stopni.
Poniżej zaobserwować można wpływ kąta początkowego α0 na zasięg rzutu.
Maksymalna wysokość
Zastanówmy się pod jakim kątem należy rzucić piłkę żeby doleciała jak nawyżej. Intuicja podpowiada nam, że powinniśmy rzucić piłkę pionowo. Przedstawimy matematyczne uzasadnienie tego stwierdzenia przy okazji znajdując maksymalną wysokosć y w torze lotu obiektu w zależności od dowolnego kąta początkowego α0 i prędkości początkowej v0.
Równanie współrzędnej y(t)=v0tsin(α0)–gt22 jest równaniem kwadratowym zmiennej t. Ponieważ współczynnik −g2 przy t2 jest ujemny, funkcja y jest wypukła i wierzchołek będzie największym punktem trajektorii. Korzystamy ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka th wypukłej funkcji kwadratowej y=at2+bt+c, aby znaleźć czas, w którym osiągana jest największa wysokość:
th=−b2ath=−2v0sin(α0)2(−g2)th=v0sin(α)g
Podstawiamy czas th do wzoru na współrzędną y:
y(t)=v0tsin(α0)–gt22y(th)=v0v0sin(α)gsin(α0)–g(v0sin(α)g)22y(th)=v20sin2(α0)g–v20sin2(α0)2gy(th)=v20sin2(α0)g
Ponieważ sinus osiąga maksymalną wartość dla kąta równego 0 stopni (jeśli mówimy o kątach między 0 a 360 stopni), to wyrażenie y(t) osiągnie najwyższą wartość dla α0=90∘ .
Podsumowanie
Ostatecznie przy oznaczeniach tk- czas końcowy, th- czas dla którego osiągana jest maksymalna wysokość, otrzymaliśmy następujące wzory:
x(t)=v0tcos(α0)y(t)=v0tsin(α0)–gt22tk=2v0sin(α0)gx(tk)=v20sin(2α0)gth=v0sin(α0)gy(th)=v20sin2(α0)g
Ten artykuł został sfinansowany dzięki wsparciu pozyskanemu przez Poznańską Fundację Matematyczną z Fundacji mBanku na realizację projektu „Potęga matematyki”.