W szkole podstawowej i średniej poznajemy własności różnych funkcji. Jest mowa o funkcji liniowej, kwadratowej, homograficznej, logarytmicznej, wykładniczej czy funkcjach trygonometrycznych. Kiedy o każdym z tych typów funkcji coś się już wie, przychodzi ochota, aby zacząć je ujmować w bardziej uporządkowany sposób wszystkie razem. W tym tekście chcemy powiedzieć kilka słów o pewnym zbiorze funkcji ciągłych (o ciekawych przykładach funkcji nieciągłych możesz przeczytać w artykule Kilka funkcji „bardzo nieciągłych”).

Dowodzenie ciągłości funkcji wprost z definicji

Przypomnijmy definicję funkcji ciągłej.

Definicja 1. Funkcję $f$ określoną na podzbiorze liczb rzeczywistych i przyjmującą wartości w zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy ciągłą w punkcie $x_0$, gdy dla każdej dodatniej liczby $\epsilon$ istnieje dodatnia liczba $\delta$ taka, że jeżeli $|x-x_0|<\delta$, to $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.

Definicja 2. Funkcję $f$ nazywamy ciągłą, kiedy jest ona ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.

Będziemy rozważać zbiór wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale $[0,1]$ i przyjmujących wartości rzeczywiste. Do naszego zbioru funkcji ciągłych należą więc na przykład wszystkie funkcje liniowe, wszystkie funkcje kwadratowe, ogólnie: wszystkie funkcje wielomianowe, a także funkcja wykładnicza $f(x)=e^x$ i funkcje trygonometryczne. Nie należą do niej na przykład funkcja logarytmiczna i funkcja $f(x)=\frac{1}{x}$, gdyż nie są one określone dla $x=0$, ani funkcja
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{dla } 0\leq x\leq \frac{1}{2};\\ 1 & \mbox{dla } \frac{1}{2}<x\leq 1,\\ \end{array} \right.$$
która nie jest ciągła w punkcie $x=\frac{1}{2}$.

Udowodnienie bezpośrednio z definicji, że dana funkcja jest ciągła, czasami nie sprawia trudności; ale w innych przypadkach może być rachunkowo zawiłe. Wtedy lepiej posłużyć się sprytnym twierdzeniem.

Na przykład bardzo łatwo pokazać z definicji, że funkcja stała $f(x)=a$, gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, lub funkcja tożsamościowa $g(x)=x$ są ciągłe w dowolnym punkcie $x_0$.

Trochę trudniej pokazać, że funkcja $f(x)=\sin x$ jest ciągła w każdym punkcie $x_0$.

Twierdzenie 1. Funkcja $f(x)=\sin x$  jest ciągła w każdym punkcie $x_0$.

Dowód. Niech $\varepsilon$ będzie dowolnie małą dodatnią liczbą rzeczywistą. Nasze zadanie polega na znalezieniu takiej liczby $\delta>0$, że
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta,\text{ to }|\sin x -\sin x_0|<\varepsilon.$$
Okazuje się, że będzie się do tego nadawać liczba $\delta=\varepsilon$. Istotnie, korzystając z równości $\sin \alpha-\sin \beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ oraz nierówności $|\cos \alpha|\leq 1$ i $|\sin \alpha|\leq |\alpha|$ prawdziwych dla wszystkich liczb rzeczywistych $\alpha$ i $\beta$ (każdy, kto uczył się o funkcjach trygonometrycznych, musiał je spotkać), dla dowolnego punktu $x_0$ mamy
$$\begin{align*} |\sin x -\sin x_0|& =\left|2\cos\frac{x+x_0}{2}\sin\frac{x-x_0}{2}\right|\\ &\leq 2\left|\sin\frac{x-x_0}{2}\right|\\ &\leq 2\left|\frac{x-x_0}{2}\right|\\ &=|x-x_0|< \delta=\varepsilon. \end{align*}$$
A zatem funkcja $f(x)=\sin x$ jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny, czyli na całej prostej rzeczywistej (w szczególności na przedziale $[0,1]$).

Pośrednie dowodzenie ciągłości funkcji

Udowodnienie bezpośrednio z definicji ciągłości, powiedzmy, funkcji
$$f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$$
sprawiłaby nam pewien kłopot. Zamiast tego można posłużyć się twierdzeniem.

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcje $f(x)$ i $g(x)$ są ciągłe w punkcie $x_0$, to również ciągłe są w tym punkcie następujące funkcje
$$f(x)+g(x)\hspace{1.2cm} f(x)-g(x)\hspace{1.2cm} f(x)\cdot g(x)\hspace{1.2cm} \frac{f(x)}{g(x)},$$
przy czym w przypadku ostatniej funkcji zakładamy, że $g(x_0)\neq 0$ (aby wykluczyć dzielenie przez zero).

Wykorzystując to twierdzenie łatwo już pokazać, że funkcja $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ jest ciągła w dowolnym punkcie $x_0$. Skoro funkcja stała i funkcja tożsamościowa są ciągłe w każdym punkcie, to ich iloczyny, sumy i ilorazy dają funkcje ciągłe w każdym punkcie (z wyjątkiem przypadku, gdy dzielilibyśmy przez zero). Funkcja $f(x)$ powstaje jako wynik kilku takich operacji, a zatem musi ona być ciągła w każdym punkcie $x_0$!

Dowód. Pokażemy najpierw, że jeśli funkcje $f(x)$ i $g(x)$ są ciągłe w punkcie $x_0$, to ich suma $f(x)+g(x)$ również jest ciągła w tym punkcie.

Zgodnie z definicją ciągłość funkcji $f(x)$ i $g(x)$ oznacza, że dla dowolnie wybranej liczby $\varepsilon>0$ istnieją takie liczby $\delta_1>0$ i $\delta_2>0$, że
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta_1,\text{ to }|f(x)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$$
oraz
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta_2,\text{ to }|g(x)-g(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}.$$

Oznaczmy przez $\delta$ mniejszą z liczb $\delta_1$, $\delta_2$, tzn. $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Przypuśćmy, że $|x-x_0|<\delta$. Korzystając z tego, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $\alpha$ i $\beta$ zachodzi nierówność $|\alpha+\beta|\leq |\alpha|+|\beta|$, oraz z powyższych dwóch implikacji, mamy
$$\begin{align*} |f(x)+g(x)-(f(x_0)+g(x_0))|&=|f(x)-f(x_0)+g(x)-g(x_0)|\\ &\leq |f(x)-f(x_0)|+|g(x)-g(x_0)|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{align*}$$
A więc dla dowolnej liczby $\varepsilon>0$ znaleźliśmy liczbę $\delta$ taką, że
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta,\text{ to }|f(x)+g(x)-(f(x_0)-g(x_0)|<\varepsilon,$$
co oznacza, że funkcja $f(x)+g(x)$ jest ciągła w punkcie $x_0$.

Dowód ciągłości funkcji $f(x)-g(x)$ przebiega identycznie.

Istota powyższego dowodu polega na tym, że od „epsilona” dla funkcji $f(x)+g(x)$ przechodzimy do mniejszych „epsilonów” – w tym przypadku $\frac{\varepsilon}{2}$ – dla funkcji $f(x)$ i $g(x)$, a potem korzystamy z ciągłości tych funkcji pozwalającej dobrać liczby $\delta_1$ i $\delta_2$; mniejsza z nich będzie odgrywała rolę „delty” dla wyjściowego „epsilona”.

W dowodzie tego, że funkcja $f(x)\cdot g(x)$ jest ciągła w punkcie $x_0$, o ile każda z funkcji $f(x)$ i $g(x)$ jest w tym punkcie ciągła, dobranie mniejszych „epsilonów” stanowi trochę większe wyzwanie.

Z ciągłości funkcji $f(x)$ wynika, że do „epsilona” równego $1$ można dobrać takie $\delta_0>0$, że
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta_0,\text{ to }|f(x)-f(x_0)|<1.$$
Ponieważ dla wszystkich liczb rzeczywistych $\alpha$ i $\beta$ zachodzi nierówność $|\alpha|-|\beta|\leq |\alpha-\beta|$, czyli $|\alpha|\leq |\alpha-\beta|+|\beta|$, powyższy warunek możemy zapisać w następujący sposób:
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta_0,\text{ to }|f(x)|<1+|f(x_0)|.$$
Warunek ten oznacza, że funkcja $f(x)$ jest ograniczona przez liczbę $1+|f(x_0)|$ w pobliżu punktu $x_0$.

Teraz możemy ustalić odpowiednie „epsilony” dla funkcji $f(x)$ i $g(x)$, tak aby w ostatniej nierówności wszystko do siebie pasowało.

Niech $\varepsilon$ będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Istnieją liczby $\delta_1>0$ i $\delta_2>0$ takie, że
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta_1,\text{ to }|f(x)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2|g(x_0)|}$$
oraz
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta_2,\text{ to }|g(x)-g(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2(1+|f(x_0)|)}.$$

Dzięki temu doborowi stałych i znanej sztuczce polegającejna dodaniu i odjęciu tego samego otrzymujemy
$$\begin{align*} |f(x)\cdot g(x)-f(x_0)\cdot g(x_0)|&=|f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x_0)+f(x)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g(x_0)|\\ &=|f(x)\cdot (g(x)-g(x_0))+(f(x)-f(x_0))\cdot g(x_0)|\\ &\leq |f(x)|\cdot |g(x)-g(x_0)|+|f(x)-f(x_0)|\cdot |g(x_0)|\\ &<(1+|f(x_0)|)\cdot \frac{\varepsilon}{2(1+|f(x_0)|)}+\frac{\varepsilon}{2|g(x_0|)}\cdot |g(x_0)|\\ &=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{align*}$$
Pokazaliśmy, że dla $\delta=\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2)$ zachodzi implikacja
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta,\text{ to }|f(x)\cdot g(x)-f(x_0)\cdot g(x_0)|<\varepsilon,$$
co oznacza, że funkcja $f(x)\cdot g(x)$ jest ciągła w punkcie $x_0$.

Załóżmy teraz, że funkcja $g(x)$ jest ciągła w punkcie $x_0$ i że $g(x_0)\neq 0$. Pokażemy, że funkcja $\frac{1}{g(x)}$ jest ciągła w punkcie $x_0$.

Z ciągłości funkcji $g(x)$ wynika, że do „epsilona” równego $\frac{|g(x_0)|}{2}$ można dobrać takie $\delta_0>0$, że
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta_0,\text{ to }|g(x)-g(x_0)|<\frac{|g(x_0)|}{2}.$$
Ponieważ dla wszystkich liczb rzeczywistych $\alpha$ i $\beta$ zachodzi nierówność $|\beta|-|\alpha|\leq |\alpha-\beta|$, czyli $|\beta|\leq |\alpha-\beta|+|\alpha|$, powyższy warunek możemy zapisać następująco:
$$\text{jeżeli }|x-x_0|<\delta_0,\text{ to }|g(x_0)|<\frac{|g(x_0)|}{2}+|g(x)|, \text{ czyli }\frac{1}{|g(x)|}<\frac{2}{|g(x_0)|} .$$
Niech $\varepsilon$ będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Istnieje taka liczba $\delta_1>0$, że
$$\text{jeśli }|x-x_0|<\delta_1,\text{ to }|g(x)-g(x_0)|<\frac{\varepsilon|g(x_0)|^2}{2}.$$
Otrzymujemy
$$\begin{align*} \bigg|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}\bigg|=\bigg|\frac{g(x)-g(x_0)}{g(x)g(x_0}\bigg|&<|g(x)-g(x_0)|\frac{2}{|g(x_0)|^2} &<\frac{\varepsilon|g(x_0)|^2}{2}\frac{2}{|g(x_0)|^2}=\varepsilon, \end{align*}$$
o ile $|x-x_0|<\delta=\min(\delta_0,\delta_1)$. Oznacza to, że funkcja $\frac{1}{g(x)}$ jest ciągła w punkcie $x_0$.

Ponieważ $\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}$, wystarczy teraz powołać się na ciągłość iloczynu funkcji ciągłych, aby otrzymać ciągłość ilorazu funkcji ciągłych. W ten sposób zakończyliśmy dowód twierdzenia.

Prawdziwe są również twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej do funkcji ciągłej i o ciągłości złożenia dwóch funkcji ciągłych. Podamy je bez dowodu.

Twierdzenie 3. Jeżeli funkcja $f(x)$ jest ciągła w punkcie $x_0$ i ma funkcję odwrotną $f^{-1}(y)$, to funkcja $f^{-1}(y)$ jest ciągła w punkcie $y_0=f(x_0)$.

Twierdzenie 4. Jeżeli istnieje złożenie $f(g(x))$ funkcji $f(x)$ i $g(x)$ i funkcja $g(x)$ jest ciągła w punkcie $x_0$, a funkcja $f(x)$ jest ciągła w punkcie $g(x_0)$, to złożenie $f(g(x))$ jest ciągłe w punkcie $x_0$.

Dzięki pierwszemu z tych twierdzeń łatwo na przykład możemy wnioskować, że funkcja $f(x)=\arcsin x$ jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w każdym punkcie przedziału $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, gdyż jest to funkcja odwrotna do ciągłej funkcji sinus; a dzięku drugiemu, że na przykład funkcja $f(x)=\sin(\log x)$ jest ciągła na dodatniej półprostej rzeczywistej jako złożenie dwóch funkcji ciągłych.

Przestrzeń liniowa funkcji ciągłych na przedziale [0, 1]

Powróćmy teraz do zagadnienia, od którego wyszliśmy. Rozważamy zbiór funkcji ciągłych na  przedziale $[0,1]$. Chcieliśmy przede wszystkich wiedzieć, jak rozpoznać, że dana funkcja należy do tego zbioru. Okazuje się, że pomocne do tego są twierdzenia o „wytwarzaniu” funkcji ciągłych z innych funkcji ciągłych. Jeżeli dana funkcja daje się w poprawny sposób zbudować z prostszych funkcji ciągłych, to może być zaliczona do naszego zbioru. Ciągłość tych „prostszych” funkcji musi być udowodniona z definicji.

Możemy jednak odwrócić nasze zagadnienie i zapytać o operacje, które od funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ prowadzą nas zawsze do funkcji ciągłych na tym przedziale. Wiemy już, że iloraz dwóch funkcji ciągłych nie jest tego rodzaju operacją, gdyż w punktach, w których funkcja mianownikowa się zeruje, możemy dostać nieciągłość ilorazu. Podobnie nie zawsze funkcja odwrotna do funkcji ciągłej będzie funkcją ciągłą (funkcja odwrotna może w ogóle nie istnieć lub nie być określona na przedziale $[0,1]$, jak wymagamy). Wreszcie złożenie funkcji ciągłych może wcale nie istnieć).

Z tego przeglądu wynika, że operacjami, które od funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ niezawodnie prowadzą do funkcji ciągłych na tym przedziale są dodawanie funkcji i mnożenie funkcji (w szczególności mnożenie funkcji przez liczbę). Jest to bardzo ważne spostrzeżenie, które prowadzić w szczególności do pojęcia przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$.

Przestrzeń liniowa funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ razem z operacją mnożenia funkcji z tej kasy przez liczby i operacją dodawania do siebie funkcji z tego zbioru. Jak wiemy, te dwie operacje dają wyniku znowu funkcję ze zbioru funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$. Oznacza to, że dla dowolnej skończonej liczby funkcji $f_1, f_2,\dots,f_n$ ciągłych na przedziale $[0,1]$ funkcja $f(x)=\lambda_1 f_1(x)+\lambda_2 f_2(x)+\cdots+\lambda_n f_n(x)$, gdzie $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ jest dowolnym zestawem $n$ liczb, jest ciągła na przedziale $[0,1]$.

Fukcję $f(x)=\lambda_1 f_1(x)+\lambda_2 f_2(x)+\cdots+\lambda_n f_n(x)$ nazywa się \textit{kombinacją liniową} funkcji $f_1, f_2,\dots,f_n$. Na przykład dla $f_1(x)=1, f_2(x)=x$ i $f_3(x)=x^2$ każdy wielomian drugiego stopnia jest po prostu ich kombinacją liniową.

Przestrzeń liniowa funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ jest jedną z wielu przestrzeni funkcji badanych w analizie matematycznej. W artykule \textit{Baza Schaudera przestrzeni $C[0,1]$} możesz przeczytać o tym, co to znaczy, że przestrzeń liniowa funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ ma bazę i zapoznać się z ważnym przykładem takiej bazy podanym przez polskiego matematyka Juliana Schaudera.

Ten artykuł został sfinansowany dzięki wsparciu pozyskanemu przez Poznańską Fundację Matematyczną z Fundacji mBanku na realizację projektu „Potęga matematyki”.